Тригонометрия как вычислить двойной угол синуса

ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

Как ты уже понял, тригонометрические выражения – это выражения, в котором переменная содержится под знаком тригонометрических функций. Стоп! Вот прямо здесь мы и остановимся! Я задам тебе вопрос: какие тригонометрические функции ты знаешь? Верно! Их всего четыре!

  1. Синус  
  2. Косинус  
  3. Тангенс  
  4. Котангенс  

Хотя, положа руку на сердце, я скажу тебе, что знание последней не так уж и обязательно (хотя желательно!), поскольку она легко выражается через тангенс.

Да и сам тангенс, по сути – тоже лишь тригонометрическое выражение, зависящее от синуса и косинуса.

Таким образом, у нас есть две основные тригонометрические функции – синус и косинус и две «второстепенные» — тангенс и котангенс.

Я не буду сейчас определять, что такое синус и косинус, ты и так это уже знаешь из предыдущих разделов. Я лишь скажу пару слов про важность этих понятий.

Итак, пара слов: первые зачатки тригонометрии возникли более 3 тысяч лет назад. Я думаю, что тебе очевидно, что тогда люди не занимались «формулами ради формул».

Так что тригонометрические функции имеют полезные практические свойства. Я не буду их перечислять. Если тебе интересно, ты всегда можешь найти море информации в интернете. Сейчас я приведу тебе некоторые основные соотношения между тригонометрическими величинами, которые оказываются полезными при решении задач.

  1. Основное тригонометрическое тождество (нужно его помнить, даже если тебя разбудили среди ночи и спросили!)
     
  2. Выражение тангенса через синус и косинус (по сути альтернативное определение тангенса)
     
  3. Выражение котангенса через синус и косинус или через тангенс (по сути альтернативное определение котангенса)
     
  4. Первое следствие формулы 1:
     
  5. Второе следствие формулы 1:
     
  6. Третье следствие формулы 1:
     
  7. Четвертое следствие формулы 1:
     

Уже получилось 7 формул! К сожалению, это еще далеко не предел. Совсем не предел.

Тем не менее последние 4 формулы есть ни что иное, как простое следствие первой. В самом деле, ты заметил, почему это так?

Формула 4 получается делением обеих частей формулы 1 на   и применением формулы 2.

Формула 5 получается аналогично: разделим обе части формулы 1 на   и вместо выражения   запишем  , исходя из определения 3. Формулы 1 – 5 мы трактуем вполне однозначно. Чего нельзя сказать про формулы 6 и 7.

В чем «фишка» формул 6 и 7? Их особенность заключается в знаке  , который стоит перед корнем.

Как это понимать? А понимать надо так: в некоторых случаях мы ставим плюс, а в некоторых – минус. Теперь у тебя должен возникнуть вопрос: в каких-таких «некоторых случаях»? Туманность этой формулировки снимается следующим правилом:

  • Если в формуле

    Угол   таков, что  , то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

  • Если в формуле

    Угол   таков, что  , то ставим знак «минус», иначе – «плюс».

Есть опять некий «запутанный» момент в правиле, не так ли? В чем осталось разобраться?

Они подскажут тебе, какой нужно выбирать знак для той или иной функции, так что ты не допустишь досадной ошибки.

К тому же это избавит тебя от мучительных размышлений по поводу того «а зачем в этом примере нужен этот угол?!».

Тебе не кажется, что пришла пора мне уже перейти от теории к некоторой практике? Давай начнем!

  1. Най­ди­те  , если   и  .
  2. Най­ди­те  , если   и  .
  3. Най­ди­те   если   и  .
  4. Най­ди­те  , если   и  .

1. Так как  , то подставим сюда значение , тогда  

Теперь дело за малым: разобраться со знаком. Что нам для этого нужно? Знать, в какой четверти находится наш угол.

По условию задачи: . Смотри на картинку. Какая это четверть? Четвертая.

Каков знак косинуса в четвертой четверти? На картинке стоит знак «плюс», значит косинус в четвертой четверти положительный.

Тогда нам остается выбрать знак «плюс» перед  .  , тогда  .

Ответ:  .

Ну вот видишь, ничего сложного. Абсолютно ничего. Нужно лишь запомнить знаки синуса, косинуса и тангенса (котангенса) по четвертям. Ну а как это делать автоматически описано в статье, посвященной тригонометрической окружности.

Давай разберем оставшиеся примеры.

Опять нужно определиться со знаком. Смотрим на рисунок. Четверть – снова четвертая. Знак синуса четвертой четверти – отрицательный. Ставим знак «минус».  , тогда  .

Ответ:  .

Смотрим на знак косинуса при  . Какая это четверть? Вторая. Косинус второй четверти отрицательный. Тогда выбираем знак «минус».

Предлагаем ознакомиться:  Как вычислить площадь треугольника. Как найти площадь треугольника. Для вычисления площади треугольника можно воспользоваться приведенными в статье формулами.

Ответ:  .

4. Здесь перед нами стоит задачка чуть сложнее. Однако, не стоит огорчаться. Давай вспомним, что такое тангенс. Это ведь отношение синуса к косинусу. Синус нам уже дан.

Давай вначале найдем косинус. Как это сделать, ты уже знаешь.  .

Так как   (это угол в третьей четверти, а косинус в третьей четверти имеет знак «минус»), то  .

Ответ:  .

Уф, выдохнули! Ну вот мы с тобой решили некоторые (довольно типичные и распространенные) примеры. Ты спросишь: «и что, это все?». Я отвечу, увы нет. Это далеко не все.

Далее нам потребуются более сложные формулы тригонометрии.

  1. Синус суммы и разности:
     
  2. Косинус суммы и разности:
     
  3. Тангенс суммы и разности:
     
  4. Синус двойного угла (следствие формулы 1)
     
  5. Косинус двойного угла (следствие формулы 2)
     
     
  6. Тангенс двойного угла:
     

Как распознать, что тебе требуются именно эти, а не какие-нибудь другие формулы?

Очень просто: если ты видишь косинус, синус, тангенс от суммы двух углов или двойных углов, то это должно служить тебе индикатором – мне нужно применить одну из формул для суммы/разности или для двойного угла.

Звучит несколько путано? Давай посмотрим на примеры. Заодно я дам еще ряд важных комментариев.

4. Най­ди­те  , если  

5. Най­ди­те  , если  

6. Най­ди­те  , если   и  .

7. Най­ди­те  , если  .

8. Най­ди­те  , если  

9. Най­ди­те  , если  .

Список этих заданий можно продолжать бесконечно… Но я выбрал здесь а) не самые сложные формулы б) не самые «страшные» углы. Страшные углы я припас нам напоследок.

Кстати, здесь тебе понадобится знание также тех формул, которые я привел в самом начале. Поехали!

И снова тригонометрия! Однако, здесь я уже буду рассматривать более «навороченные» формулы, которые используются для решения более сложных задач, нежели те, что мы с тобой рассмотрели в предыдущей статье «Формулы тригонометрии. Подробная теория для начального уровня». Я сразу оговорюсь, что в части С современного ЕГЭ нет задач, которые бы звучали как «упростите выражение…».

Это звучало бы слишком банально, не так ли? Но неявно эти формулы могут использоваться, скажем, при упрощении тригонометрических уравнений. А вот такие задания – основа С1. Поэтому будь внимателен, в некоторых (не очень тривиальных) случаях, следующие формулы помогут тебе выйти из затруднительной ситуации.

Первая группа формул является универсальной: она позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному. Это, конечно, имеет важное приложение при решении уравнений, но здесь мы рассмотрим, как эти формулы помогают при упрощении тригонометрических выражений.

В чем прелесть этих формул? Первые две позволяют «убрать степени», то есть понизить порядок выражения (или повысить, за счёт снижения кратности угла), вторая группа формул позволяет свести любое тригонометрическое выражение к виду, зависящему только от тангенсов! Иногда это единственный способ решить ту или иную задачу. Перейдём к примерам.

  1. Доказать тождество:

    С виду тождество угрожающе! Но разберёмся по порядку. Формулы понижения степени, конечно, если их прочитать задом наперёд повышают степень! И вообще, приглядись внимательно: первые две формулы есть ничто иное, как косинус двойного угла, записанный в несколько странной форме! Вот и распишем по правилам:
     
    Тебе ничего по форме не напоминают числитель и знаменатель дроби? Приглядись внимательно, здесь «зарыта» хорошо известная тебе формула. Увидел её? Это же квадрат разности и квадрат суммы!

    А выражение в скобках есть ничто иное, как  , окончательно получим:

    Тождество доказано!
    Следующий пример очень схож с предыдущим, постарайся решить его самостоятельно:

  2. Доказать тождество:

    Решение (хотя может и отличаться от твоего)
    Опять «повысим степень» у косинуса:  
     
    Надо сокращать дальше! Что делать? Ясно, что надо избавляться от двойных углов у синуса. Действуем по формуле синуса двойного угла и сокращаем двойки:
     
    Числитель раскладывается на множители. Знаменатель –пока нет. До тех пор, пока мы не применим основное тригонометрическое тождество:

     
    Вот ещё один пример, но не такой простой:

  3. Доказать, что если  , то  
    Зачем нам дан угол? Наверное, чтобы оценить выражения: синус  будет положительным,  
    Тогда и левая, и правая части тождества больше нуля.
    Это даёт мне право без задней мысли возвести их в квадрат:
      – вот такое тождество нам нужно теперь доказать.
    Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности!
     
    Я не сомневаюсь в твоей грамотности и поэтому даже не упоминаю про использованные мною формулы в выкладках. Теперь надо бы убрать корень из косинуса. Но мы знаем, что просто так это делать нельзя, ибо  . В то же время вспоминаем про четверть: наш угол лежит в первой четверти, тогда косинус имеет знак «плюс» и мы просто убираем корень:  
    Тогда нам надо доказать, что
     
     
    Справа применим формулу понижения степени:
     ,тогда

    Тождество доказано!

Предлагаем ознакомиться:  Первые симптомы на ранних сроках беременности: как определить беременность

Конечно, можно привести ещё массу примеров, где применяются формулы понижения степени, ты их и сам без труда отыщешь. Я не буду приводить примеры на основную тригонометрическую подстановку, так как она выполняет несколько иную роль – роль «универсального решателя» уравнений. Так что мы к ней ещё непременно вернёмся, когда будем решать тригонометрические уравнения.

Формулы преобразования суммы функций

Формулы преобразования произведений функций

  1. Най­ди­те корни урав­не­ния:  .
    В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
  2. Най­ди­те корни урав­не­ния: .
    В ответ за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.
  3. Ре­ши­те урав­не­ние  .
    В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

Косинус двойного угла

Доказательство.

Воспользуемся формулой сложения для синуса

    \[\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.\]

Из этой формулы получаем

    \[ \sin (2\alpha) = \sin (\alpha + \alpha) =\]

    \[=\sin\alpha\cos\alpha +\cos\alpha\sin\alpha =  2\sin{\alpha}\cos{\alpha}.\]

Доказательство.

Применим формулу суммы агументов косинуса:

    \[\cos (\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.\]

Получим

    \[\cos (2\alpha) = \cos (\alpha + \alpha) = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha.\]

Доказательство этой формулы аналогично, поэтому эту формулу мы предлагаем вам доказать самостоятельно :).

Доказательство.

Формулы тройного угла можно получить из формул сложения, зная формулы двойного угла. Покажем это на примере синуса:

    \[ \sin(3\alpha) = \sin{\alpha + 2\alpha} =  \sin\alpha\cos 2\alpha+\cos\alpha\sin 2\alpha = \]

    \[=\sin{\alpha}\left(1 - 2 \sin^2{\alpha}\right) + \cos\alpha(2\sin{\alpha}\cos{\alpha}).\]

Используя основное тригонометрическое тождество \cos^2\alpha = 1 - \sin^2{\alpha} и приводя подобные члены, получаем формулу тройного угла для синуса.

Аналогично получаются формулы тройного угла для косинуса и тангенса.

Формулы приведения

Теперь мы знаем уже почти что все. Осталось совсем немного. Последнее, на что я хочу обратить внимание, это обещанный мною метод «легкого» перехода от большой таблицы значений углов к маленькой.

Этот переход обеспечивают так называемые формулы приведения. Еще раз поясню, зачем они используются: ты будешь их применять в том случае, когда тебе нужно найти синус, косинус или тангенс угла, большего чем   градусов.

Например, найти синус угла   градусов.

Здесь мы поступаем следующим образом. Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

  1. Синус и косинус имеют период   (  градусов), то есть

    Тангенс (котангенс) имеют период   (  градусов)

     
     
      – любое целое число

  2. Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

Теперь непосредственно сам алгоритм:

  1. Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул (2). Например:
  2. Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды:   (по   градусов), а для тангенса – «половинки»   (  градусов). Например:
  3. Если оставшийся «уголок» меньше   градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице»
  4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол  : это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!
  5. Представляем угол   в одной из следующих форм

      (если во второй четверти)
      (если во второй четверти)
      (если в третьей четверти)
      (если в третьей четверти)
      (если в четвертой четверти)
      (если в четвертой четверти)

    так, чтобы оставшийся угол   был больше нуля и меньше   градусов. Например:

     
     
     
     
     

    В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

  6. Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через   или   градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь   или   и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. Если же ты выбрал запись через   или   градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.
  7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.
  1. Вычислить  
  2. Вычислить  
  3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:  

Список формул половинного угла

Формулы для синуса и косинуса половинного угла справедливы для любого угла . Формула для тангенса имеет место для любых углов , при которых определен , то есть, при , где z – любое целое число (при этих же значение выражения отлично от нуля, в противном случае мы бы столкнулись с делением на нуль). Формула котангенса половинного угла справедлива для всех углов , при которых определен котангенс половинного угла, то есть, для .

Сразу бросается в глаза, что формулы половинного угла даны для квадратов тригонометрических функций. Значения самих функций находятся как арифметический квадратный корень из правых частей записанных равенств, взятый со знаком плюс или минус, то есть, как и . Причем знак зависит от того, углом какой из координатных четвертей является угол .

Предлагаем ознакомиться:  Активированный уголь для похудения отзывы как принимать польза

Применение этих формул рассмотрим на примерах чуть ниже.

sin2α2=1-cosα2cos2α2=1 cosα2tg2α2=1-cosα1 cosαctg2α2=1 cosα1-cosα

Формулы для sin и cos половинного угла справедливы при любом значении заданного угла α. Формулу для tg любого угла αопределяет tgα2, значение угла α≠π 2π·z при z равном любому целому числу ( выражение 1 cosα с таким же значением α не должно принимать значение 0). Формула ctg угла считается справедливой для любого угла α, где половинный угол имеет место быть, α≠2π·z.

sinα2=±1-cosα2, cosα2=±1 cosα2, tgα2=±1-cosα1 cosα, ctgα2=±1 cosα1-cosα

Знак «-» указывает, что тригонометрическая функция принадлежит определенной четверти угла α2.

Применим формулы на практике.

Доказательство формул половинного угла

Доказательство формул половинного углаосновывается на формулах cos двойного угла cosα=1-2·sin2α2 и cosα=2·cos2α2-1. Упростив первое выражение по sin2α2, получим саму формулу половинного угла sin2α2=1-cosα2, второе выражение по cos2α2 получим cos2α2=1 cosα2.

tg2α2=sin2α2cos2α2=1-cosα21 cosα2=1-cosα1 cosα;ctg2α2=cos2α2sin2α2=1-cosα21 cosα2=1 cosα1-cosα;

Все формулы половинного угла были доказаны.

Доказательство формул половинного угла базируется на формулах косинуса двойного угла вида и . Разрешив первое из записанных равенств относительно , получаем формулу половинного угла для синуса . А разрешив второе равенство относительно , получаем формулу половинного угла для косинуса .

Для доказательства формул половинного угла для тангенса и котангенса нам потребуются основные тригонометрические тождества вида и , а также две доказанные выше формулы половинного угла для синуса и косинуса. Имеем

Так мы доказали все формулы половинного угла.

Примеры использования

Целью этого пункта заключается в том, чтобы показать как применяются формулы половинного угла при решении конкретных примеров. Начнем с простого примера.

Пример.


Зная, что , вычислите при помощи формулы половинного угла значение косинуса 15 градусов.

Решение.


Формула половинного угла для косинуса имеет вид , тогда . Итак, значение квадрата косинуса 15 градусов найдено, осталось по нему найти значение самого косинуса.


Так как угол 15 градусов является углом первой координатной четверти, то косинус этого угла должен быть положительным (при необходимости смотрите раздел теории знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Таким образом, так как , то .

Ответ:

.

Обязательно стоит обратить Ваше внимание, что для применения формул половинного угла аргументы не обязательно должны иметь явный вид и , главное – чтобы аргумент в правой части формул половинного угла был вдвое больше аргумента в левой части формул. К примеру, формула половинного угла для синуса позволяет записать равенство или .

В заключение этого пункта скажем, что в основном формулы половинного аргумента применяются при преобразовании тригонометрических выражений, но эта тема заслуживает отдельного рассмотрения.

Список литературы.

  • Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- isbn 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Некогда разбираться?

Закажите решение

Покажем применение формул половинного угла при решении примера.

Пример 1

Известно, что cos30°=32. Необходимо вычислить значение cos 15 градусов, используя формулы половинного угла.

Решение

Данный пример рассматривает применение формулы половинного угла для косинуса, имеющей вид cos2α2=1 cosα2.

Следуя из условия, подставляем числовые значения и получаем: cos215°=1 cos30°2=1 322=2 34. После получения значения косинуса 15 градусов, необходимо найти само значение косинуса. Для этого вспомним, что угол в 15 градусов принадлежит первой четверти. Там косинус угла имеет положительное значение ( чтобы вспомнить знаки тригонометрических функций, необходимо повторить теорию знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям). Следуя из вышесказанного, имеем cos215°=2 34, тогда cos 15°=2 34=2 32. Ответ: cos 15°=2 32.

Применяя формулу половинного угла, стоит учитывать тот факт, что угол может быть не явного вида α2 и α, а потребует дальнейшего приведения к стандартному виду. Главное условие – нахождение аргумента в правой части формул половинного угла было в 2 раза больше, чем в левой. Иначе применение формулы будет невозможно.

Если формула позволит записывать данное равенство таким образом sin27α=1-cos14α2 или sin2 5α17=1-cos10α172, то формула будет применима.

Для правильного преобразования и применения формул половинного аргумента необходимо досконально изучить свойства тригонометрических функций. Не любое выражение поддается такому преобразованию в тригонометрии. Необходимо внимательно следить за значениями углов тригонометрических функций и их нахождение в четвертях для определения знака для выражения.

Ну что, давай решать вместе!

Снова по определению: Тогда запишу

Так как  

Но ты же внимательно читал мои пространные рассуждения, не так ли? И ты ведь не напишешь такую чушь? И ты понял, в чем здесь подвох?

Загрузка ...
Adblock detector