Синус, косинус, тангенс: что такое? Как найти синус, косинус и тангенс?

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Первоначально люди рассуждали о взаимоотношении углов и сторон исключительно на примере прямоугольных треугольников. Затем были открыты особые формулы, позволившие расширить границы употребления в повседневной жизни данного раздела математики.

Изучение тригонометрии в школе сегодня начинается с прямоугольных треугольников, после чего полученные знания используются учениками в физике и решении абстрактных тригонометрических уравнений, работа с которыми начинается в старших классах.

[ tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha},enspace ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ]

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой ( dfrac{y}{x}=dfrac{sin alpha}{cos alpha} ), а отношение ( dfrac{x}{y}=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ) — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов ( alpha ), при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества ( tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha} ), ( ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ).

Например: ( tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha} ) является справедливой для углов ( alpha ), которые отличны от ( dfrac{pi}{2} pi z ), а ( ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ) — для угла ( alpha ), отличного от ( pi z ), ( z ) — является целым числом.

[ tg alpha cdot ctg alpha=1 ]

Данное тождество справедливо только для таких углов ( alpha ), которые отличны от ( dfrac{pi}{2} z ). Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что ( tg alpha = dfrac{y}{x} ), а ( ctg alpha=dfrac{x}{y} ). Отсюда следует, что ( tg alpha cdot ctg alpha = dfrac{y}{x} cdot dfrac{x}{y}=1 ). Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

( tg^{2} alpha 1=dfrac{1}{cos^{2} alpha} ) — сумма квадрата тангенса угла ( alpha ) и ( alpha ), отличных от ( dfrac{pi}{2} pi z ).

( 1 ctg^{2} alpha=dfrac{1}{sin^{2}alpha} ) — сумма ( alpha ), равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого ( alpha ), отличного от ( pi z ).

Вот, что тебе нужно повторить, если ты это забыл:

  1. Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс (острого угла в прямоугольном треугольнике)
  2. Теорема Пифагора
  3. Система координат
  4. Теорему Пифагора тоже (куда уж нам без нее).

Вот картинка, которая кратко напомнит тебе, что такое эти синусы, косинусы и т. д.

То есть: синус одного острого угла равен косинусу другого (и наоборот), тангенс одного острого угла равен котангенсу другого (и наоборот). Данные утверждения были доказаны в других статьях. Мы же здесь с тобой уже будем почивать на лаврах, пожиная эти плоды.

А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность. Получилось?

Ну да ладно, задачка не самая сложная. Теперь ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду!

А что пока делать тебе?

А вот что: Проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом. И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности.

Нарисовал? У меня получилось что-то вроде вот этого.

Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые   и   и точку пересечения через  , а что такое в таком случае  ? Это радиус нашей окружности. 

Как называлась наша тема? Единичная окружность.

Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!), что  .

А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину?

Мы поместили нашу окружность в систему координат  , сделав центр окружности началом координат!

Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения. Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке!

Перегнать фигуру в цифры, каково, а? Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат? В  .

 ;  ;  ;  .

Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость?

Они называются координатные четверти.

1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть

(Прямо как четверти в школе!).

Теперь давай сделаем еще вот что. Снова посмотрим на предыдущую картинку.

Чему на ней равен  ? Он равен  . Также, как и  , как и угол  , и угол  .

Тогда чему равна их сумма? Она равна  . Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком!

Градусная мера окружности равна  !

Где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи»   с цифрами. В чем же тут дело, кто прав и кто виноват?

Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени. В самом деле, есть два способа измерять углы.

  1. Через градусы
  2. Через радианы

Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно. Однако, в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. д.) а именно, через радианы.

Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи. Потренируйся на следующих примерах:

  1. Перевести угол в   градусов в радианы
  2. Перевести угол   радиан в градусы
  3. Перевести угол в   градусов в радианы
  4. Перевести угол в   радиан в градусы
  5. Перевести угол в   градусов в радианы
  6. Перевести угол в   радиан в градусы
  7. Перевести угол в   градусов в радианы

Я сделаю только первые два:

  1.  , тогда угол в   градусов равен углу в   радиан
  2.  , тогда угол в   радиан равен углу в   градусов…

Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Подведем предварительные, но очень важные итоги:

  1. В первой четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)
  2. Во второй четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)
  3. В третьей четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)
  4. В четвертой четверти лежат углы от   до   градусов (от   до   радиан)

Но мы с тобой итак слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться!

Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник.

Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность?

А что же такое отрезки   и  ? Чему равны их длины?

Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол   и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности.

Обозначим эту точку через  . Пусть   имеет координаты  .

Тогда длина отрезка   равна  , а длина отрезка  –равна  .

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили.

Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол   и хотим найти его синус и косинус.

Что мы делаем?

  1. Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла
  2. Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью
  3. Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла
  4. Её «игрековая» координата – это синус нашего угла

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус   градусов.

1. Отмечаем   градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше). Как найти   и  ?

Как ты думаешь, откуда оно берется? Да это же пресловутая теорема Пифагора!

Наши катеты в треугольничке равны   и  , которые в свою очередь совпадают с   и  . Гипотенуза в треугольнике равна  .

Предлагаем ознакомиться:  Во сколько начинает говорить ребенок Когда стоит бить тревогу

  или, что то же самое,

  и  , то

Теперь нужно выбрать знак.

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла   градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов:   и  

Понятия в тригонометрии

Чтобы разобраться в базовых понятиях тригонометрии, следует сначала определиться с тем, что такое прямоугольный треугольник и угол в окружности, и почему именно с ними связаны все основные тригонометрические вычисления. Треугольник, в котором один из углов имеет величину 90 градусов, является прямоугольным.

Основные категории, связанные с прямоугольными треугольниками — гипотенуза и катеты. Гипотенуза — сторона треугольника, лежащая против прямого угла. Катеты, соответственно, это остальные две стороны. Сумма углов любых треугольников всегда равна 180 градусам.

Сферическая тригонометрия — раздел тригонометрии, который не изучается в школе, однако в прикладных науках типа астрономии и геодезии, учёные пользуются именно им. Особенность треугольника в сферической тригонометрии в том, что он всегда имеет сумму углов более 180 градусов.

Углы треугольника

В прямоугольном треугольнике синусом угла является отношение катета, противолежащего искомому углу, к гипотенузе треугольника. Соответственно, косинус — это отношение прилежащего катета и гипотенузы. Оба эти значения всегда имеют величину меньше единицы, так как гипотенуза всегда длиннее катета.

Тангенс угла — величина, равная отношению противолежащего катета к прилежащему катету искомого угла, или же синуса к косинусу. Котангенс, в свою очередь, это отношение прилежащего катета искомого угла к противолежащему кактету. Котангенс угла можно также получить, разделив единицу на значение тангенса.

ХХ и YY, то есть координаты абсцисс и ординат. Выбрав на окружности любую точку в плоскости ХХ, и опустив с неё перпендикуляр на ось абсцисс, получаем прямоугольный треугольник, образованный радиусом до выбранной точки (обозначим её буквой С), перпендикуляром, проведённым до оси Х (точка пересечения обозначается буквой G), а отрезком оси абсцисс между началом координат (точка обозначена буквой А) и точкой пересечения G.

Полученный треугольник АСG — прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, где AG — гипотенуза, а АС и GC — катеты. Угол между радиусом окружности АС и отрезком оси абсцисс с обозначением AG, определим как α (альфа). Так, cos α = AG/AC. Учитывая, что АС — это радиус единичной окружности, и он равен единице, получится, что cos α=AG. Аналогично, sin α=CG.

Кроме того, зная эти данные, можно определить координату точки С на окружности, так как cos α=AG, а sin α=CG, значит, точка С имеет заданные координаты (cos α;sin α). Зная, что тангенс равен отношению синуса к косинусу, можно определить, что tg α = y/х, а ctg α = х/y. Рассматривая углы в отрицательной системе координат, можно рассчитать, что значения синуса и косинуса некоторых углов могут быть отрицательными.

Знакомство с данной наукой следует начать с определения синуса, косинуса и тангенса угла, однако прежде необходимо разобраться, чем вообще занимается тригонометрия.

Исторически главным объектом исследования данного раздела математической науки были прямоугольные треугольники. Наличие угла в 90 градусов дает возможность осуществлять различные операции, позволяющие по двум сторонам и одному углу либо по двум углам и одной стороне определять значения всех параметров рассматриваемой фигуры. В прошлом люди заметили эту закономерность и стали активно ею пользоваться при строительстве зданий, навигации, в астрономии и даже в искусстве.

Позже, когда наука вышла на следующий уровень развития, формулы с синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом стали использоваться в сферической геометрии, где действуют иные правила, а сумма углов в треугольнике всегда больше 180 градусов. Данный раздел не изучается в школе, однако знать о его существовании необходимо как минимум потому, что земная поверхность, да и поверхность любой другой планеты, является выпуклой, а значит, любая разметка поверхности будет в трёхмерном пространстве «дугообразной».

Возьмите глобус и нитку. Приложите нитку к двум любым точкам на глобусе, чтобы она оказалась натянутой. Обратите внимание – она обрела форму дуги. С такими формами и имеет дело сферическая геометрия, применяющаяся в геодезии, астрономии и других теоретических и прикладных областях.

Тригонометрические функции тройного угла

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

  1. Синус и косинус имеют период   (  градусов), то есть

    Тангенс (котангенс) имеют период   (  градусов)

     
     
      – любое целое число

  2. Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

Первое утверждение мы уже доказали с тобой, а справедливость второго установили совсем недавно.

Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

  1. Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул (2). Например:

     ,
     .

  2. Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды:   (по   градусов), а для тангенса –   (  градусов). Например:
  3. Если оставшийся «уголок» меньше   градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице».
  4. Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол  : это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!
  5. Представляем угол  в одной из следующих форм:

      (если во второй четверти)
      (если во второй четверти)
      (если в третьей четверти)
      (если в третьей четверти)
      (если в четвертой четверти)
      (если в четвертой четверти)

    так, чтобы оставшийся угол   был больше нуля и меньше   градусов. Например:

     
     
     
     
     

    В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

  6. Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через   или   градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь   или   и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла. Если же ты выбрал запись через   или   градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.
  7. Ставим перед получившимся выражением знак из пункта 4.

Давай продемонстрируем все вышесказанное на примерах:

  1. Вычислить  
  2. Вычислить  
  3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:  

Главный инструмент тригонометрии — это тригонометрическая окружность, она позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Есть два способа измерять углы.

Чтобы найти синус и косинус угла нужно:

  1. Провести единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла.
  2. Найти точку пересечения этого угла с окружностью.
  3. Её «иксовая» координата – это косинус искомого угла.
  4. Её «игрековая» координата – это синус искомого угла.

Это формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции.

Формула Название формулы
sin (α β) = sin α cos β cos α sin β Синус суммы
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β Синус разности
cos (α β) = cos α cos β – sin α sin β Косинус суммы
cos (α – β) = cos α cos β sin α sin β Косинус разности
Основные тригонометрические формулы тригонометрические функции суммы и разности двух углов Тангенс суммы
Основные тригонометрические формулы тригонометрические функции суммы и разности двух углов Тангенс разности
Синус суммы
sin (α β) = sin α cos β
cos α sin β
Синус разности
sin (α – β) = sin α cos β –
cos α sin β
Косинус суммы
cos (α β) = cos α cos β –
sin α sin β
Косинус разности
cos (α – β) = cos α cos β
sin α sin β
Тангенс суммы
Основные тригонометрические формулы тригонометрические функции суммы и разности двух углов
Тангенс разности
Основные тригонометрические формулы тригонометрические функции суммы и разности двух углов
Формула Название формулы
sin 2α = 2 sin α cos α Синус двойного угла

cos 2α = cos 2α – sin2α

cos 2α = 2cos 2α – 1

cos 2α = 1 – 2sin 2α

Косинус двойного угла
Основные тригонометрические формулы тригонометрические функции двойного угла Тангенс двойного угла
Синус двойного угла
sin 2α = 2 sin α cos α
Косинус двойного угла

cos 2α = cos 2α – sin2α

cos 2α = 2cos 2α – 1

cos 2α = 1 – 2sin 2α

Тангенс двойного угла
Основные тригонометрические формулы тригонометрические функции двойного угла
Формула Название формулы
Основные тригонометрические формулы формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций Выражение квадрата синуса
через косинус двойного угла
Основные тригонометрические формулы формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций Выражение квадрата косинуса
через косинус двойного угла
Основные тригонометрические формулы формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций Выражение квадрата тангенса
через косинус двойного угла
Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла
Основные тригонометрические формулы формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций
Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла
Основные тригонометрические формулы формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций
Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла
Основные тригонометрические формулы формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций
Выражение куба синуса через
синус угла и синус тройного угла
Основные тригонометрические формулы формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса
Выражение куба косинуса через
косинус угла и косинус тройного угла
Основные тригонометрические формулы формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса
Формула Название формулы
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение Сумма синусов
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение Разность синусов
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение Сумма косинусов
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение Разность косинусов
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение Сумма тангенсов
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение Разность тангенсов
Сумма синусов
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Разность синусов
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Сумма косинусов
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Разность косинусов
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Сумма тангенсов
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Разность тангенсов
Основные тригонометрические формулы преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Формула Название формулы
Основные тригонометрические формулы преобразование произведения тригонометрических функций в сумму Произведение синусов
Основные тригонометрические формулы преобразование произведения тригонометрических функций в сумму Произведение косинусов
Основные тригонометрические формулы преобразование произведения тригонометрических функций в сумму Произведение синуса и косинуса
Произведение синусов
Основные тригонометрические формулы преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Основные тригонометрические формулы преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Произведение косинусов
Основные тригонометрические формулы преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Основные тригонометрические формулы преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Произведение синуса и косинуса
Основные тригонометрические формулы преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Основные тригонометрические формулы преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Формула Название формулы
Основные тригонометрические формулы выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла Выражение синуса угла через
тангенс половинного угла
Основные тригонометрические формулы выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла Выражение косинуса угла через
тангенс половинного угла
Основные тригонометрические формулы выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла Выражение тангенса угла через
тангенс половинного угла
Выражение синуса угла через тангенс половинного угла
Основные тригонометрические формулы выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла
Основные тригонометрические формулы выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла
Основные тригонометрические формулы выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
Формула Название формулы
sin 3α = 3sin α – 4sin3α Синус тройного угла
cos 3α = 4cos3α –3cos α Косинус тройного угла
Основные тригонометрические формулы тригонометрические функции тройного угла Тангенс тройного угла
Синус тройного угла
sin 3α = 3sin α – 4sin3α
Косинус тройного угла
cos 3α = 4cos3α –3cos α
Тангенс тройного угла
Основные тригонометрические формулы тригонометрические функции тройного угла

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Основные тригонометрические формулыподготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Основные тригонометрические формулыиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

Рассмотрев сущность тригонометрических функций через единичную окружность, можно вывести значения этих функций для некоторых углов. Значения перечислены в таблице ниже.

Уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции присутствует неизвестное значение, называются тригонометрическими. Тождества со значением sin х = α, k — любое целое число:

  1. sin х = 0, х = πk.
  2. 2. sin х = 1, х = π/2 2πk.
  3. sin х = -1, х = -π/2 2πk.
  4. sin х = а, |a| > 1, нет решений.
  5. sin х = а, |a| ≦ 1, х = (-1)^k * arcsin α πk.

Тождества со значением cos х = а, где k — любое целое число:

  1. cos х = 0, х = π/2 πk.
  2. cos х = 1, х = 2πk.
  3. cos х = -1, х = π 2πk.
  4. cos х = а, |a| > 1, нет решений.
  5. cos х = а, |a| ≦ 1, х = ±arccos α 2πk.

Тождества со значением tg х = а, где k — любое целое число:

  1. tg х = 0, х = π/2 πk.
  2. tg х = а, х = arctg α πk.

Тождества со значением ctg х = а, где k — любое целое число:

  1. ctg х = 0, х = π/2 πk.
  2. ctg х = а, х = arcctg α πk.

Формулы приведения

Эта категория постоянных формул обозначает методы, с помощью которых можно перейти от тригонометрических функций вида к функциям аргумента, то есть привести синус, косинус, тангенс и котангенс угла любого значения к соответствующим показателям угла интервала от 0 до 90 градусов для большего удобства вычислений.

Формулы приведения функций для синуса угла выглядят таким образом:

  • sin(900 — α) = α;
  • sin(900 α) = cos α;
  • sin(1800 — α) = sin α;
  • sin(1800 α) = -sin α;
  • sin(2700 — α) = -cos α;
  • sin(2700 α) = -cos α;
  • sin(3600 — α) = -sin α;
  • sin(3600 α) = sin α.

Для косинуса угла:

  • cos(900 — α) = sin α;
  • cos(900 α) = -sin α;
  • cos(1800 — α) = -cos α;
  • cos(1800 α) = -cos α;
  • cos(2700 — α) = -sin α;
  • cos(2700 α) = sin α;
  • cos(3600 — α) = cos α;
  • cos(3600 α) = cos α.

Использование вышеуказанных формул возможно при соблюдении двух правил. Во-первых, если угол можно представить как значение (π/2 ± a) или (3π/2 ± a), значение функции меняется:

  • с sin на cos;
  • с cos на sin;
  • с tg на ctg;
  • с ctg на tg.

Значение функции остаётся неизменным, если угол может быть представлен как (π ± a) или (2π ± a).

Во-вторых, знак приведенной функции не изменяется: если он изначально был положительным, таким и остаётся. Аналогично с отрицательными функциями.

Формулы сложения

Эти формулы выражают величины синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов поворота через их тригонометрические функции. Обычно углы обозначаются как α и β.

Формулы имеют такой вид:

  1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
  2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
  3. tg(α ± β) = (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α * tg β).
  4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Эти формулы справедливы для любых величин углов α и β.

Тригонометрические формулы двойного и тройного угла — это формулы, которые связывают функции углов 2α и 3α соответственно, с тригонометрическими функциями угла α. Выводятся из формул сложения:

  1. sin2α = 2sinα*cosα.
  2. cos2α = 1 — 2sin^2 α.
  3. tg2α = 2tgα / (1 — tg^2 α).
  4. sin3α = 3sinα — 4sin^3 α.
  5. cos3α = 4cos^3 α — 3cosα.
  6. tg3α = (3tgα — tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Учитывая, что 2sinx*cosy = sin(x y) sin(x-y), упростив эту формулу, получаем тождество sinα sinβ = 2sin(α β)/2 * cos(α − β)/2. Аналогично sinα — sinβ = 2sin(α — β)/2 * cos(α β)/2; cosα cosβ = 2cos(α β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α β)/2 * sin(α − β)/2; tgα tgβ = sin(α β) / cosα * cosβ; tgα — tgβ = sin(α — β) / cosα * cosβ; cosα sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Эти формулы следуют из тождеств перехода суммы в произведение:

  • sinα * sinβ = 1/2*[cos(α — β) — cos (α β)];
  • cosα * cosβ = 1/2*[cos(α — β) cos (α β)];
  • sinα * cosβ = 1/2*[sin(α β) sin (α — β)].

В этих тождествах квадратную и кубическую степени синуса и косинуса можно выразить через синус и косинус первой степени кратного угла:

  • sin^2 α = (1 — cos2α)/2;
  • cos^2 α = (1 cos2α)/2;
  • sin^3 α = (3 * sinα — sin3α)/4;
  • cos^3 α = (3 * cosα cos3α)/4;
  • sin^4 α = (3 — 4cos2α cos4α)/8;
  • cos^4 α = (3 4cos2α cos4α)/8.

Формулы универсальной тригонометрической подстановки выражают тригонометрические функции через тангенс половинного угла.

  • sin x = (2tgx/2) * (1 tg^2 x/2), при этом х = π 2πn;
  • cos x = (1 — tg^2 x/2) / (1 tg^2 x/2), где х = π 2πn;
  • tg x = (2tgx/2) / (1 — tg^2 x/2), где х = π 2πn;
  • ctg x = (1 — tg^2 x/2) / (2tgx/2), при этом х = π 2πn.

Частные случаи

Частные случаи простейших тригонометрических уравнений приведены ниже (k — любое целое число).

Значение sin x Значение x
πk
1 π/2 2πk
-1 -π/2 2πk
1/2 π/6 2πk или 5π/6 2πk
-1/2 -π/6 2πk или -5π/6 2πk
√2/2 π/4 2πk или 3π/4 2πk
-√2/2 -π/4 2πk или -3π/4 2πk
√3/2 π/3 2πk или 2π/3 2πk
-√3/2 -π/3 2πk или -2π/3 2πk
Значение cos x Значение х
π/2 2πk
1 2πk
-1 2 2πk
1/2 ±π/3 2πk
-1/2 ±2π/3 2πk
√2/2 ±π/4 2πk
-√2/2 ±3π/4 2πk
√3/2 ±π/6 2πk
-√3/2 ±5π/6 2πk
Значение tg x Значение х
πk
1 π/4 πk
-1 -π/4 πk
√3/3 π/6 πk
-√3/3 -π/6 πk
√3 π/3 πk
-√3 -π/3 πk
Значение ctg x Значение x
π/2 πk
1 π/4 πk
-1 -π/4 πk
√3 π/6 πk
-√3 -π/3 πk
√3/3 π/3 πk
-√3/3 -π/3 πk

Теоремы

Двумя основными теоремами в базовой тригонометрии являются теорема синусов и теорема косинусов. С помощью этих теорем вы легко сможете понять, как найти синус, косинус и тангенс, а значит, и площадь фигуры, и величину каждой стороны и т. д.

Теорема синусов утверждает, что в результате деления длины каждой из сторон треугольника на величину противолежащего угла мы получим одинаковое число. Более того, это число будет равно двум радиусам описанной окружности, т. е. окружности, содержащей все точки данного треугольника.

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора, проецируя её на любые треугольники. Оказывается, из суммы квадратов двух сторон вычесть их произведение, умноженное на двойной косинус смежного им угла — полученное значение окажется равно квадрату третьей стороны. Таким образом, теорема Пифагора оказывается частным случаем теоремы косинусов.

Теорема синусов

Существует два варианта теоремы — простой и расширенный. Простая теорема синусов: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. При этом, a, b, c — стороны треугольника, и α, β, γ — соответственно, противолежащие углы.

Предлагаем ознакомиться:  Что такое черная луна

Расширенная теорема синусов для произвольного треугольника: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. В этом тождестве R обозначает радиус круга, в который вписан заданный треугольник.

Теорема косинусов

Тождество отображается таким образом: a^2 = b^2 c^2 — 2*b*c*cos α. В формуле a, b, c — стороны треугольника, и α — угол, противолежащий стороне а.

Теорема тангенсов

Формула выражает связь между тангенсами двух углов, и длиной сторон, им противолежащих. Стороны обозначены как a, b, c, а соответствующие противолежащие углы — α, β, γ. Формула теоремы тангенсов: (a — b) / (a b) = tg((α — β)/2) / tg((α β)/2).

Теорема котангенсов

Связывает радиус вписанной в треугольник окружности с длиной его сторон. Если a, b, c — стороны треугольника, и А, В, С, соответственно, противолежащие им углы, r — радиус вписанной окружности, и p — полупериметр треугольника, справедливы такие тождества:

  • ctg A/2 = (p-a)/r;
  • ctg B/2 = (p-b)/r;
  • ctg C/2 = (p-c)/r.

Углы больше   градусов

Последнее, что я бы хотел отметить в этой статье – это как быть с углами, большими чем   градусов?

Что это такое и с чем это можно есть, чтобы не подавиться? Возьму, я скажем, угол в   градусов (  радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.

Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (  градусов или   радиан)?

Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Взяв произвольный угол   и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол  .

Что же нам это даст? А вот что: если  , то

Для любого целого  . Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом  .

Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

 ,  ,  ,  

Итак, ты понял что такое тригонометрическая окружность и для чего она нужна.

Но у нас осталось еще очень много вопросов:

  1. А что такое отрицательные углы?
  2. Как вычислять значения тригонометрических функций в этих углах
  3. Как по известным значениям тригонометрических функций 1 четверти искать значения функций в других четвертях (неужто надо зубрить таблицу?!)
  4. Как с помощью круга упрощать решения тригонометрических уравнений?

Обо всем этом — читай далее «Средний уровень»!

Зависимость между тангенсом и котангенсом

[ sin^{2} alpha cos^{2} alpha=1 ]

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Также существуют формулы, связанные с аргументами в виде двойного угла. Они полностью выводятся из предыдущих – в качестве тренировки попробуйте получить их самостоятельно, приняв угол альфа равным углу бета.

Наконец, обратите внимание, что формулы двойного угла можно преобразовать так, чтобы понизить степень синуса, косинуса, тангенса альфа.

Отрицательные углы

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный  . Аналогичным образом мы строили все углы.

Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси   по часовой стрелке.

В целом правило можно сформулировать вот так:

  • Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
  • Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть. 

Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном.

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

Что мы с тобой видим? А вот что:

  • Синусы у углов   и   противоположны по знаку! Тогда если

     , то  
     

  • Косинусы у углов   и   совпадают! Тогда если

     ,то и  
     

  • Так как  , то:
  • Так как  , то:

Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса.

Кстати, вспомни-ка, как называется функция  , у которой для любого допустимого   выполняется: ?

Такая функция называется нечетной.

А если же для любого допустимого   выполняется:  ? То в таком случае функция называется четной.

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

Итак, данный способ (или правило) называется — формулы приведения.

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но, думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье — Купить статью — 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника — Купить учебник — 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Загрузка ...
Adblock detector