Как рассчитать окружность 🚩 как высщитать площадь круга имея окружность 🚩 Математика

Что такое окружность и где она встречается?

Эта плоская фигура представляет собой некоторое количество точек, которые расположены на одинаковом удалении от еще одной, которая является центром. Это расстояние называется радиусом.

В повседневной жизни нечасто приходится вычислять длину окружности, кроме людей, которые являются инженерами и конструкторами. Они создают проекты механизмов, в которых используются, например, шестеренки, иллюминаторы и колеса. Архитекторы создают дома, имеющие круглые или арочные окна.

В каждом из этих и других случаях требуется своя точность. Причем высчитать длину окружности совершенно точно оказывается невозможно. Связано это с бесконечностью основного числа, имеющегося в формуле. «Пи» до сих пор уточняется. И используется чаще всего округленное значение. Степень точности выбирается такой, чтобы дать максимально верный ответ.

Геометрия круга и окружности

Окружность — это фигура, которая представляет собой совокупность точек на плоскости, равноудаленных от некоторой точки, которая называется центром окружности. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Окружность, как и прямая — наиболее распространенные кривые во всех областях человеческой деятельности.

История изучения окружности берет начало из древних времен. Длину окружности или периметр круга с разной степенью точности люди научились вычислять еще в глубокой древности: согласно историческим данным первая формула определения периметра круга была составлена вавилонскими учеными в 19 веке до нашей эры.

Античные ученые считали круг совершенной фигурой. Круг на латыни произносится как «циркулус», и именно от него произошло название циркуля — инструмента, без которого невозможно построить идеальную окружность. Круг и прямая, циркуль и линейка — это самые первые фигуры и самые необходимые вещи для построения любого геометрического тела. Для построения фигур используются следующие элементы окружности:

  • радиус — отрезок, который соединяет центр с любой ее точкой;
  • хорда — отрезок, соединяющие любые две точки;
  • диаметр — хорда, которая проводится через центр;
  • дуга — часть, заключенная между двумя точками кривой.

С окружностью и ее частями мы сталкиваемся ежедневно.

Формула периметра круга

Периметр круга радиуса (r) :

[ LARGE{P} = 2 cdot pi cdot r ]

или

[ LARGE{P} = pi cdot d ]

где

( P ) – периметр (длина окружности).

( r ) – радиус.

( d ) – диаметр.

Окружностью будем называть такую геометрическую фигуру, которая будет состоять из всех таких точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от какой-либо заданной точки.

Центром окружности будем называть точку, которая задается в рамках определения 1.

Радиусом окружности будем называть расстояние от центра этой окружности до любой ее точки.

В декартовой системе координат ( xOy ) мы также можем ввести уравнение любой окружности. Обозначим центр окружности точкой ( X ) , которая будет иметь координаты ( (x_0,y_0) ) . Пусть радиус этой окружности равняется ( τ ) . Возьмем произвольную точку ( Y ) , координаты которой обозначим через ( (x,y) ) (рис. 2).

( |XY|=sqrt{(x-x_0)^2 (y-y_0)^2} )

С другой стороны, ( |XY| ) — это расстояние от любой точки окружности до выбранного нами центра. То есть, по определению 3, получим, что ( |XY|=τ ) , следовательно

( sqrt{(x-x_0)^2 (y-y_0)^2}=τ )

( (x-x_0)^2 (y-y_0)^2=τ^2 ) (1)

Таким образом, мы и получаем, что уравнение (1) является уравнением окружности в декартовой системе координат.

l = &pi- * d.

Круг в реальности

Круг — одна из наиболее распространенных геометрических фигур в реальной жизни. Мы живем в трехмерном пространстве, а круг — это двухмерная фигура, которая в реальном измерении превращается в шар или представляет собой часть других трехмерных объектов. К примеру, окружность как основание присутствует в конических и цилиндрических вещах, таких как стаканы, пожарные ведра, колеса, цистерны, дорожные конусы и многое другое.

Предлагаем ознакомиться:  Калькуляционная карта образец для общепита как считать

Длина окружности

На практике вам может понадобиться определить периметр круга, что представляет собой сложную задачу, так как окружность — кривая линия, которую нельзя измерить стандартной линейкой. Античные математики выяснили, что отношение длины окружности к ее диаметру постоянно для любых кругов и равно приблизительно 3,1.

где R – радиус круга.

При помощи нашего онлайн-калькулятора вы можете определить длину окружности, зная ее радиус или диаметр. Рассмотрим пару абстрактных примеров.

Будем выводить длину произвольной окружности ( C ) с помощью её радиуса, равного ( τ ) .

Будем рассматривать две произвольные окружности. Обозначим их длины через ( C ) и ( C’ ) , у которых радиусы равняются ( τ ) и ( τ’ ) . Будем вписывать в эти окружности правильные ( n ) -угольники, периметры которых равняются ( ρ ) и ( ρ’ ) , длины сторон которых равняются ( α ) и ( α’ ) , соответственно. Как мы знаем, сторона вписанного в окружность правильного ( n ) – угольника равняется

( α=2τsinfrac{180^0}{n} )

Тогда, будем получать, что

( ρ=nα=2nτfrac{sin180^0}{n} )

( ρ’=nα’=2nτ’frac{sin180^0}{n} )

Значит

( frac{ρ}{ρ’}=frac{2nτsinfrac{180^0}{n}}{2nτ’frac{sin180^0}{n}}=frac{2τ}{2τ’} )

Получаем, что отношение ( frac{ρ}{ρ’}=frac{2τ}{2τ’} ) будет верным независимо от значения числа сторон вписанных правильных многоугольников. То есть

( lim_{ntoinfty}(frac{ρ}{ρ’})=frac{2τ}{2τ’} )

( lim_{ntoinfty}(frac{ρ}{ρ’})=frac{C}{C’} )

Из последних двух равенств получим, что

( frac{C}{C’}=frac{2τ}{2τ’} )

То есть

( frac{C}{2τ}=frac{C’}{2τ’} )

Видим, что отношение длины окружности к его удвоенному радиусу всегда одно и тоже число, независимо от выбора окружности и ее параметров, то есть

( frac{C}{2τ}=const )

Эту постоянную принять называть числом «пи» и обозначать ( π ) . Приближенно, это число будет равняться ( 3,14 ) (точного значения этого числа нет, так как оно является иррациональным числом). Таким образом

( frac{C}{2τ}=π )

Окончательно, получим, что длина окружности (периметр круга) определяется формулой

( C=2πτ )

Примеры заданий

Длина экватора

l = 40 074, 7

Это означает, что длина окружности экватора составляет 40 074 км. Если сверить полученный результат с данными из Википедии, то мы увидим, что наш расчет не сильно отличается от установленного учеными значения 40 075, 6 км.

Размер кольца

l = 59,69

Зная это значение легко определить размер кольца без посещения ювелирного магазина.

Задача первая

Условие.
Узнать длину окружности, радиус которой равен 5 см.

Решение.
Здесь несложно понять, как рассчитать длину окружности. Нужно только воспользоваться первой формулой. Поскольку радиус известен, то потребуется только подставить значения и сосчитать. 2 умноженное на радиус, равный 5 см, даст 10. Осталось еще умножить его на значение &pi-. 3,14 * 10 = 31,4 (см).

Ответ:
l = 31,4 см.

Задача вторая

Условие.
Имеется колесо, длина окружности которого известна и равна 1256 мм. Необходимо вычислить его радиус.

Решение.
В этом задании потребуется воспользоваться той же формулой. Но только известную длину нужно будет разделить на произведение 2 и &pi-. Получается, что произведение даст результат: 6,28. После деления остается число: 200. Это искомая величина.

Ответ:
r = 200 мм.

Задача третья

Условие.
Вычислить диаметр, если известна длина окружности, которая равна 56,52 см.

Решение.
Аналогично предыдущей задаче потребуется разделить известную длину на значение &pi-, округленное до сотых. В результате такого действия получается число 18. Результат получен.

Ответ:
d = 18 см.

Задача четвертая

Условие.
Стрелки часов имеют длину 3 и 5 см. Нужно вычислить длины окружностей, которые описывают их концы.

Решение.
Поскольку стрелки совпадают с радиусами окружностей, то потребуется первая формула. Ею нужно воспользоваться два раза.

Для первой длины произведение будет состоять из множителей: 2- 3,14 и 3. Итогом будет число 18,84 см.

Для второго ответа нужно перемножить 2, &pi- и 5. Произведение даст число: 31,4 см.

Предлагаем ознакомиться:  Как рассчитать высоту стола

Ответ:
l 1 = 18,84 см, l 2 = 31,4 см.

Задача пятая

Условие.
Белка бегает в колесе диаметром 2 м. Какое расстояние она пробегает за один полный оборот колеса?

Решение.
Это расстояние равно длине окружности. Поэтому нужно воспользоваться подходящей формулой. А именно перемножить значение &pi- и 2 м. Подсчеты дают результат: 6,28 м.

Ответ:
Белка пробегает 6,28 м.

Периметром плоской геометрической фигуры называется суммарная длина всех составляющих ее сторон. У круга такая сторона всего одна, и ее протяженность обычно называют длиной окружности, а не периметром. В зависимости от известных параметров круга вычислять эту величину можно разными способами.

Спонсор размещения P&G
Статьи по теме «Как определить периметр круга»
Как найти периметр круга
Как вычислить периметр окружности
Как вычислить радиус круга

Инструкция

Для измерения периметра круга на местности используйте специальное устройство — курвиметр. Чтобы узнать с его помощью длину окружности, агрегат нужно просто прокатить по ней колесом. Такие же приборы, но гораздо меньших размеров, используются и для определения длины любых кривых линий, включая окружности, на чертежах и картах.

Если нужно вычислить длину окружности (L) по известному диаметру (d), умножьте его на число Пи (3,1415926535897932384626433832795…), округлив количество знаков до нужной степени точности: L=d*?. Так как диаметр равен удвоенному радиусу (r), если известна эта величина, добавьте в формулу соответствующий множитель: L=2*r*?.

Зная площадь круга (S), тоже можно вычислить длину окружности (L). Соотношение и этих двух величин выражается через число Пи, поэтому удвойте квадратный корень из произведения площади на эту математическую константу: L = 2*v(S*?).
Если известна площадь (s) не всего круга, а лишь сектора с заданным центральным углом (?

), то при вычислении длины окружности (L) исходите из формулы предыдущего шага. Если угол выражен в градусах, площадь сектора будет составлять?/360 от общей площади круга, которую можно выразить формулой s*360/?. Подставьте ее в приведенное выше равенство: L = 2*v((s*360/?)*?) = 2*v(s*360*?/?). Однако чаще для измерения центрального угла используют не градусы, а радианы.

В этом случае площадь сектора будет составлять?/(2*?) от общей площади круга, а формула вычисления длины окружности приобретет такой вид: L = 2*v((s*2*?/?)*?) = 2*v(s*2*??/?) = 2*?*v(2*s/?).
Аналогичные пропорции применяйте и при вычислении длины окружности (L) по известным длине дуги (l) и соответствующему ей центральному углу (?

Древними геометрами на основе многократных математических действий с кругом, окружностью и диаметром было выведено универсальное число Пи. Пи – это отношение длины окружности к ее радиусу с числовым значением приблизительно 3.14. Вам понадобится знания и умения математического счета Спонсор

Длиной окружности называют протяженность границы круга — простейшей плоской геометрической фигуры. По определению каждая точка этой границы находится на одинаковом расстоянии от центра, поэтому при заданной длине окружности эту границу можно найти только одним единственным способом. Из этого

Если все точки внутри периметра круга не выходят за пределы периметра треугольника и при этом периметр круга имеет всего по одной общей точке с каждой из сторон треугольника, то окружность называется вписанной в треугольник. Существует всего одно значение радиуса круга, при котором его можно

Вычисление площади круга и его частей относится к задачам по геометрии 9-го класса. Умение их решать вам может потребоваться не только для того, чтобы помочь вашему ребенку с геометрией, но и для выполнения технических задач на работе или в быту. Применяя формулу вычисления площади круга, можно,

Длину линии, ограничивающей внутреннее пространство плоской геометрической фигуры, обычно называют периметром. Однако применительно к кругу этот параметр фигуры не менее часто обозначают понятием «длина окружности». Свойства круга, связанные с длиной окружности, известны очень давно, а способы

Предлагаем ознакомиться:  В какие дни нельзя забеременеть? Как рассчитать безопасные дни, чтоб не забеременеть

Для решения поставленной задачи прежде всего необходимо ввести понятие числа П (Пи). Число П – математическая константа, выражающая отношение длины окружности к диаметру этой окружности. П – это бесконечная непериодическая десятичная дробь, её значение постоянно для любых окружностей и

Вычислить площадь окружности невозможно, ведь это линия, понятие площади для нее не определено. Зато можно вычислить площадь круга, ограниченного этой окружностью. Для решения задачи надо знать радиус. Спонсор размещения P&G Статьи по теме «Как вычислить площадь окружности» Как найти площадь

Знаете ли вы, что человек за всю свою жизнь забывает около 40%
информации, которую он воспринимал. Из этого следует, что все запомнить, и тем более все знать очень тяжело, а порой даже нереально. К примеру, после того, как ученик закончил школу, а потом институт, допустим, по гуманитарной специальности, а не по технической (строительный или инженерный факультет), можно с большой вероятностью утверждать, что он уже давно забыл элементарную математику.

Вот вы помните, как найти высоту трапеции, как найти производную функции или же правильно построить график? Наверняка, нет. Редко кто сможет осилить такую задачу без дополнительной помощи. Возьмем, например, студента, который плохо изучал геометрию в школе, и просто забыл, как найти периметр круга. Эта статья пригодится тем, кто желает возобновить в памяти школьную программу математики.

Инструкция:

  • Найти периметр круга – это аналогичное задание вычислению длины окружности. Для начала потребуется измерять его радиус
    . Для этого нужно воспользоваться циркулем. Одну его ножку ставим в центр круга, а вторую на любую точку окружности. Поскольку окружность представляет собой совокупность всех равно-отдаленных точек от центра, то куда именно станет вторая ножка циркуля — роли не играет, поскольку везде будет одинаковое расстояние.
  • Если же под рукой нет циркуля, то можно узнать диаметр круга
    при помощи линейки. Для этого измеряем длину, положив линейку так, чтобы она проходила через центр круга. Расстояние, которое мы получим, будет диаметром
    . Он равен двум радиусам, поэтому формула, приведенная немного дальше, остается актуальной.
  • Если центр круга
    не обозначен, то линейкой измеряем самое большое расстояние от одной точки окружности к другой. При таком способе расчета, полученный периметр круга будет числом неточным, так как диаметр мы могли определить не совсем точно. Полученное расстояние измеряем на линейке, приложив к ней циркуль. Результат записываем на листе бумаги. Это и есть радиус нашей окружности.
  • Чтобы узнать периметр круга, нужно воспользоваться формулой
    . Она очень проста: радиус нашей окружности умножается на два, после чего умножается на число Пи
    , которое является постоянным и равняется значению 3,14
    . Рассчитали его еще древние математики, а последующие поколения успешно применяют в вычислениях уже не одну тысячу лет, поэтому в его правильности можно не сомневаться. После того, как мы проведем расчеты, получим число, которое и является искомым.
  • Для окружностей больших размеров алгоритм и инструкция по измерению остается прежней, вот только линейка и циркуль заменяются строительной рулеткой, и специальными программами для расчетов.
Загрузка ...
Adblock detector