Как осуществить деление производных || Как осуществить деление производных

Метод замены переменной в определенном интеграле

Пусть

и–
дифференцируемые функции,
– постоянная. Тогда:

  1. ,
    (производная постоянной величины равна
    нулю);

2) ,
(постоянный множитель можно выносить
за знак производной);

  1. ,
    (производная алгебраической суммы
    функций равна алгебраической сумме
    производных);

  2. ,
    (производная произведения двух функций
    равна произведению производной первой
    функции на вторую плюс произведение
    производной второй функции на первую);

5) ,
(производная частного двух функций
равна дроби в числителе которой –
произведение производной числителя на
знаменатель минус произведение
производной знаменателя на числитель,
а в знаменателе – квадрат знаменателя).

1.
,
(); 5.;

2.
; 6.;

2.
; 7.

2.
; 8.

3.
; 9.;

3.
; 10.;

4.
; 11.;

4.
; 12..

Пример 10.

а)
; б)

;в)

;

г)

;д)

;е)

;

ж)

;з)
; и)

.

Решение.

Пример 12.

Найти
производную

,
функции
.

Решение.

Тогда:
.

Если
зависимость между

и
задана в неявном виде уравнением,
то производная
определяется
следующим образом:

  1. дифференцируются
    обе части уравнения, рассматривая при
    этом
    ,
    как функцию аргумента;

  2. полученное
    уравнение решается относительно
    .

Пример 13.

Найти
производную функции
.

Решение.

; ;

; ;

Чтобы
избавиться от многоэтажной дроби в
ответе, домножим числитель и знаменатель
получившейся дроби на выражение
.

При
вычислении предела функции подстановка
предельного значения аргумента часто
приводит к неопределенностям вида
,,
от которых невозможно избавиться при
помощи ранее изученных приемов. Теорема,
известная под названиемправило
Лопиталя,
является одним из основных инструментов
для раскрытия таких неопределенностей.

Правило
Лопиталя:
Пусть в некоторой окрестности точки
функцииидифференцируемы и.
Еслииодновременно являются бесконечно малыми
или бесконечно большими функциями при
,
то

при условии, что
предел отношения производных существует.

Эта
теорема справедлива также и для
односторонних пределов, и в случае,
когда
.

В
некоторых случаях раскрытие
неопределенностей вида
может потребовать неоднократного
применения правила Лопиталя.

Неопределенности

,,,,,

сводятся к
неопределенностям вида
путем алгебраических преобразований.

Пример 17.

а); б); в).

Решение.

в)
.

или

.

Так
как
,
то искомый предел.

Не существует
универсального метода нахождения
неопределенных интегралов. К основным
методам интегрирования относят следующие
методы: непосредственное интегрирование,
метод замены переменной (метод подстановки)
и метод интегрирования по частям.

Метод
непосредственного интегрирования
применяется, когда неопределенный
интеграл можно найти
непосредственно с помощью таблицы
интегралов и свойств неопределенных
интегралов. В некоторых случаях
подынтегральную функцию необходимо
преобразовать, чтобы свести заданный
интеграл к табличному интегралу.

Замечание:
При нахождении алгебраической суммы
интегралов обычно пишут одну произвольную
постоянную
в конце.

Пример 23.

Найти
интегралы: а); б);

в);
г).

Решение.

Метод
замены переменной
(метод подстановки) заключается в
введении новой переменной интегрирования
(т.е. подстановки)
.
При этом заданный интеграл приводится
к новому интегралу, который должен
является табличным или к нему сводящимся.

Замечание:
не существует общего правила выбора
подстановок. Умение правильно подобрать
подстановку определяется опытом или
видом подынтегральной функции.

Замечание:
если подынтегральное выражение содержит
некоторую функцию и ее дифференциал с
точностью до коэффициента, то выражать
переменную
из подстановкинеобязательно.

Пример 24.

Найти
интегралы: а)
;
б);
в).

Решение.

в)
.

Замечание:
рассмотрим случай, когда существует
возможность замены линейного выражения
,
приводящей к табличному интегралу (см.
Пример 24а); так называемую линейную
подстановку.

то

,

т.е. .

Пример 25.

а)
;
б);
в);
г).

Решение.

а)
;

б)
;

в)
;

Дробно-рациональной
функцией (рациональной
дробью) называется функция, равная
отношению двух многочленов:
,
где– многочлен степени,– многочлен степени.

Рациональная
дробь называется
правильной,
если степень многочлена в числителе
меньше степени многочлена в знаменателе,
т.е.
,
в противном случае (если
)
рациональная дробь называется
неправильной.

где
– целая часть от деления,– правильная рациональная дробь,– остаток от деления.

I.

;

II.
;

III.
;

IV.

,

где
,,,,,,
– действительные
числа и
(т.е. квадратный трехчлен в знаменателеIII и IV
дробей не имеет корней – дискриминант
отрицательный) называются
простейшими
рациональными дробями
I, II, III и IV типов.

Интегралы от
простейших дробей четырех типов
вычисляются следующим образом.

I)
.

II)
,.

III)
Для интегрирования простейшей дроби
III типа в знаменателе выделяют полный
квадрат, производят замену
.
Интеграл после подстановки разбивают
на два интеграла. Первый интеграл
вычисляют выделением в числителе
производной знаменателя, что дает
табличный интеграл, а второй интеграл
преобразовывают к виду,
так как,
что также дает табличный интеграл.

IV)
Для
интегрирования простейшей дроби IV типа
в знаменателе выделяют полный квадрат,
производят замену
.
Интеграл после подстановки разбивают
на два интеграла. Первый интеграл
вычисляют подстановкой,
а второй с помощью рекуррентных
соотношений.

Пример 27.

а);
б);
в).

Решение.

а)
.

б)
.


каждому
множителю знаменателя
соответствует одна дробь вида;


каждому
множителю знаменателя
соответствует суммадробей
вида

– каждому
квадратному множителю знаменателя
соответствует дробь вида;

– каждому
квадратному множителю знаменателя
соответствует суммадробей вида

где
– неопределенные коэффициенты.

Для нахождения
неопределенных коэффициентов правую
часть в виде суммы простейших дробей
приводят к общему знаменателю и
преобразовывают. В результате получается
дробь с тем же знаменателем, что и в
левой части равенства. Затем отбрасывают
знаменатели и приравнивают числители.
В результате получается тождественное
равенство, в котором левая часть –
многочлен с известными коэффициентами,
а правая часть – многочлен с неопределенными
коэффициентами.

Существует два
способа определения неизвестных
коэффициентов: метод неопределенных
коэффициентов и метод частных значений.

Метод
неопределенных коэффициентов.

Т.к.
многочлены тождественно равны, то равны
коэффициенты при одинаковых степенях
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степеняхв многочленах левой и правой частей,
получим систему линейных уравнений.
Решая систему, определяем неопределенные
коэффициенты.

Метод частных
значений.

Т.к.
многочлены тождественно равны, то,
подставляя вместо
в левую и правую части любое число,
получим верное равенство, линейное
относительно неизвестных коэффициентов.
Подставляя столько значений,
сколько неизвестных коэффициентов,
получим систему линейных уравнений.
Вместов левую и правую части можно подставлять
любые числа, однако более удобно
подставлять корни знаменателей дробей.

Предлагаем ознакомиться:  Как посчитать дату родов

После нахождения
значений неизвестных коэффициентов,
исходная дробь записывается в виде
суммы простейших дробей в подынтегральное
выражение и осуществляется ранее
рассмотренное интегрирование по каждой
простейшей дроби.

1. Если подынтегральная
дробь неправильная, то необходимо
представить ее в виде суммы многочлена
и правильной рациональной дроби (т.е.
разделить многочлен числителя на
многочлен знаменателя с остатком). Если
подынтегральная дробь правильная сразу
переходим ко второму пункту схемы.

2. Разложить
знаменатель правильной рациональной
дроби на множители, если это возможно.

3. Разложить
правильную рациональную дробь на сумму
простейших рациональных дробей, используя
метод неопределенных коэффициентов.

4. Проинтегрировать
полученную сумму многочлена и простейших
дробей.

Пример 28.

а)
;
б);
в).

Решение.

а)
.

Т.к. подынтегральная
функция неправильная рациональная
дробь, то выделим целую часть, т.е.
представим ее в виде суммы многочлена
и правильной рациональной дроби. Разделим
многочлен в числителе на многочлен в
знаменателе уголком.

Производная обратной функции

Пусть функция
в некоторой окрестности точкиявляется непрерывной, монотонной, а в
самой точке- дифференцируемой. Тогда по теореме о
непрерывных функциях она имеет обратную.
Найдем связь между производными прямой
и обратной функций

Формулу (1) следует
понимать так, что производные в ее левой
и правой части вычисляются при значениях
аргументов, связанных между собой
соотношениями
или.

Определение.Сложнойназывается функция, которая
зависит от своего аргумента, таким
образом, что эту зависимость можно
представить посредством как минимум
одного промежуточного аргумента.

Например, пусть
и.
Тогда- сложная функция с промежуточным
аргументоми независимым аргументом.

Теорема.
Если функцияимеет производнуюв точке,
а функцияимеет производнуюв точке,
соответствующей точке,
то сложная функцияимеет производнуюв точке,
которая находится по формуле

Доказательство

В окрестности
точки
дадим приращениеаргументу.
Тогда промежуточный аргументполучит приращение,
а функция- приращение.

Поскольку в силу
существования производной
функцияявляется непрерывной в рассматриваемой
точке, то приследует, что.
Тогда продолжая выкладки, получаем

Пусть

и
.
Тогда

есть сложная
функция с
промежуточным аргументом

и основным аргументом.

Функция

дифференцируется по
,
а

дифференцируется по

.

Эта формула
распространяется на любую цепочку из
любого конечного числа дифференцируемых
функций.

Замечание:
На практике при дифференцировании
сложной функции полезно выделять
«внешнюю» функцию
и «внутреннюю» функцию
.
Дифференцирование начинается всегда
с внешней функции, а внутренняя функция,
как бы громоздко она ни выглядела,
считается простым аргументом. Производная
внутренней функции находится по обычным
правилам.

Таким
образом, учитывая правило нахождения
производной сложной функции, таблицу
основных элементарных функций можно
записать в расширенном виде.

,
.

Пример 11.

Найти
производную
функции .

Решение.

тогда
.

Пусть
функция определена на некотором интервале

.

или
.

,
,

,
.

где

– угол между касательной и положительным
направлением оси Ох
(рис. 4).

Геометрический
смысл производной используется для
составления уравнения касательной или
нормали к графику функции

в точке
.

Нормалью
к кривой
в точке

называется прямая, перпендикулярная к
касательной в данной точке и проходящая
через точку касания
.

,
.

Пример 11.

Решение.

тогда
.

Дифференцирование функций, заданных параметрически

1.
,
(); 5.;

2.
; 6.;

2.
; 7.

2.
; 8.

3.
; 9.;

3.
; 10.;

4.
; 11.;

4.
; 12..

Пример 10.

Решение.

Пример 12.

Решение.

Тогда:
.

Пример 13.

Решение.

; ;

; ;

Производной
2-го порядка от функции

называется производная от её первой
производной, т.е.

Аналогично,
производной 3-го порядка от функции
называется
производная от её второй производной,
т.е.

Таким
образом, производной
-го
порядка от функции

называется производная от производной
-го
порядка, т.е.

Следовательно,
для нахождения производной
-го
порядка необходимо последовательно
найти производную первого, затем второго,
затем третьего и т.д. до-го
порядка.

Пример 15.

Найти
третью производную
функции
.

Решение.

1.
,
(); 5.;

2.
; 6.;

2.
; 7.

2.
; 8.

3.
; 9.;

3.
; 10.;

4.
; 11.;

4.
; 12..

Пример 10.

Решение.

Пример 12.

Решение.

Тогда:
.

Пример 13.

Решение.

; ;

; ;

Получим сейчас
формулы для дифференцирования основных
элементарных функций. Знание этих формул
совместно с ранее полученными правилами
дифференцирования позволит нам выполнять
дифференцирование элементарных функций.

  1. Пусть
    .
    Применяя формулу (1) получим

  1. Пусть
    .
    Тогда

3. Получим производную
степенной функции
с вещественным показателем степени.
При этом воспользуемся таблицей
эквивалентных бесконечно малых величин.

В частном случае,
когда
= целое число

4. Для получения
формулы дифференцирования показательной
функции
(также воспользуемся таблицей эквивалентных
бесконечно малых величин

В частном случае,
когда

5. Для получения
формулы дифференцирования логарифмической
функции
(также воспользуемся таблицей эквивалентных
бесконечно малых величин. В результате
получим

Перейдем теперь
к вычислению производных тригонометрических
функций.

6. Найдем производную
функции
.
Пользуясь таблицей эквивалентных
бесконечно малых величин, получим

7. Найдем производную
функции
.
Пользуясь таблицей эквивалентных
бесконечно малых величин, получим

. (10)

8. Найдем производную
функции
.
Пользуясь правилами дифференцирования,
получим

. (11)

9. Найдем производную
функции
.
Пользуясь правилом дифференцирования
частного от деления двух функций, получим

. (12)

10. Найдем производную
функции
,
где,
а.
Очевидно,
тогда пользуясь формулами (3.1) и (9),
получим

. (13)

Здесь было
использовано свойство функции
на промежутке.

11. Найдем производную
функции
,
где,
а.
Очевидно,
тогда пользуясь формулами (3.1) и (10),
получим

. (14)

12. Найдем производную
функции
,
где,
а.
Очевидно,
тогда пользуясь формулами (3.1) и (11),
получим

. (15)

13. Найдем производную
функции
,
где,
а.
Очевидно,
тогда пользуясь формулами (3.1) и (12),
получим

. (16)

14. Так как
гиперболический синус определяется
соотношением

Предлагаем ознакомиться:  Почему возникают судороги ног и как от них избавиться? — Лучшие традиции медицины

. (17)

15. Так как
гиперболический косинус определяется
соотношением

. (18)

Графики
гиперболического синуса и косинуса
представлены на рис. 1.

Рис. 1. Синус и
косинус гиперболические1

16. Так как
гиперболический тангенс определяется
соотношением

. (19)

17. Так как
гиперболический котангенс определяется
соотношением

. (20)
Графики гиперболического тангенса и
котангенса представлены на рис. 2.

Рис. 2. Тангенс и
котангенс гиперболические2

Результаты
вычисления производных представлены
в таблице.

Таблица

2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Из определения
производной и свойств пределов следует,
что если

где

бесконечно малая величина ().

Таким
образом, для нахождения дифференциала
функции, необходимо найти производную

и умножить её
на дифференциал независимой переменной
.

Пример
16.

Найти
дифференциал функции
.

Решение.

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

,
.

Пример 11.

Решение.

тогда
.

В дифференциальном
исчислении решается задача: по данной
функции найти ее производную или
дифференциал. Интегральное исчисление
решает обратную задачу – нахождение
самой функции по ее производной или
дифференциалу.

Например,
функция
является первообразной функциина всей числовой оси, т.к..

Очевидно,
что первообразными будут также любые
функции
,
где– постоянная, т.к..

Теорема.
Если функция
является первообразной функции

на интервале
,
то множество всех первообразных для

определяется по формуле
,
где– некоторая константа (произвольное
число).

Здесь

знак неопределенного интеграла,

–подынтегральная
функция,

–подынтегральное
выражение.

Операция
нахождения неопределенного интеграла
от некоторой функции называется
интегрированием
этой функции.

Геометрически
неопределенный интеграл представляет
собой семейство параллельных кривых
(каждому числовому значениюсоответствует определенная кривая
семейства).

Неопределенный
интеграл существует для всякой непрерывной
на промежутке функции.

Правильность
интегрирования всегда можно проверить,
выполнив обратное действие, т.е. найдя
производную функции, получившейся в
результате интегрирования.

Производная
функции, получившейся в результате
интегрирования, должна быть равна
подынтегральной функции.

  1. Производная
    от неопределенного интеграла равна
    подынтегральной функции: .

  2. Дифференциал
    неопределенного интеграла равен
    подынтегральному выражению:

  1. Неопределенный
    интеграл от дифференциала некоторой
    функции равен сумме этой функции и
    произвольной постоянной:

  1. Постоянный
    множитель можно выносить за знак
    интеграла:

  1. Интеграл
    от алгебраической суммы двух функции
    равен сумме интегралов от этих функций:

Пример 24.

Решение.

в)
.

то

,

т.е. .

Пример 25.

Решение.

а)
;

б)
;

в)
;

Пусть
функция
определена и ограничена на отрезке

оси
.

Разобьем
этот отрезок на
частей, не обязательно равных, точками.
Получим элементарные отрезки,
где.
На каждом отрезкевозьмем произвольную точкуи вычислим значение функциив каждой выбранной точке.

Составим сумму

которая
называется интегральной
суммой
функции
на отрезке
.

Для
данной функции
на отрезке

можно составить бесчисленное множество
интегральных сумм, так как построение
интегральной суммы заключается в
произвольном делении заданного отрезка
на элементарные отрезки и произвольном
выборе точек
на каждом
элементарном отрезке. Обозначим через
– длину наибольшего из элементарных
отрезков.

Предел
интегральной суммы при условии, что
стремится к нулю, если этот предел
существует и не зависит от способа
разбиения отрезка

на части и от выбора в каждой части точки
,
называетсяопределенным
интегралом
от функции
в пределах отдои обозначается.

где – нижний
предел интегрирования;
– верхний предел интегрирования;

–переменная
интегрирования;
– подынтегральная функция;

Функция,
для которой на отрезке

существует определенный интеграл,
называется интегрируемой
на этом отрезке.
Для интегрируемости достаточно, чтобы
на отрезке

функция была непрерывна или имела
конечное число разрывов первого рода.

Пример 38.

Вычислить
определенные интегралы: а);
б).

Решение.

а)
;

б)
.

При
вычислении определенных интегралов
применяют те же методы, что и для
неопределенных интегралов, а именно:
непосредственное интегрирование, метод
замены переменной (метод подстановки)
и метод интегрирования по частям.

Данная формула
описывает метод подстановки в определенном
интеграле.

Замечание:
При вычислении определенного интеграла
методом подстановки возвращаться к
старой переменной не требуется, т.к.
пределы интегрирования в определенном
интеграле изменяются с учетом новой
переменной.

Пример 39.

а)

;б)
;
в).

Решение.

Пример 40.

а)
;
б).

Решение.

Замечание:
Если плоская фигура имеет сложную форму,
то прямыми, параллельными оси

,
ее следует разбить на части таким
образом, чтобы можно было применять уже
известные формулы.

Пример 43.

а)
; б).

Решение.

Фигура
ограничена осью ()
и параболой
на отрезке
.

;

;;.

Парабола
имеет вершину в
точке с координатами
и ветви ее направлены вверх.

Фигура, ограниченная
заданными линиями изображена на рис.
15.

(ед.2).

Фигура
ограничена параболой

и прямой
.

Построим данные
параболу и прямую (рис. 16).

;

;

Следовательно,
парабола и прямая пересекаются в точках
с абсциссами
и.

где
линией
является прямая(ограничивает фигуру сверху), алинией

является парабола

(ограничивает фигуру снизу).

(ед.2).

Телом
вращения
вокруг оси Ох
называется
фигура, полученная от вращения вокруг
оси
криволинейной трапеции, ограниченной
графиком непрерывной на отрезке

кривой

и прямыми

(Рис.17).

Телом
вращения
вокруг оси
называется
фигура, полученная от вращения вокруг
оси

криволинейной трапеции,
ограниченной графиком непрерывной на
отрезке

кривой

и прямыми
,
и
(Рис.18).

Пример 44.

Вычислить объем
тела вращения.

а)
Вычислить объем тела образованного
вращением вокруг оси

фигуры, ограниченной линиями
.

Решение.

Построим
плоскую фигуру, ограниченную параболой

(ветви направлены вправо)и
вертикальными прямыми
,
а также тело,
образованное вращением вокруг оси
этой плоской фигуры (рис. 19).

(ед.3).

б)
Вычислить объем тела, образованного
вращением вокруг оси

фигуры, ограниченной линиями
.

Решение.

Построим
плоскую фигуру, ограниченную гиперболой

и горизонтальными
прямыми
,
а также тело,
образованное вращением вокруг оси

этой плоской фигуры (рис. 20).

(ед.3).

Пусть
задано множество всех натуральных
чисел, расположенных в порядке их
возрастания:
.

Если
каждому числу
из множества натуральных чисел по
определённому закону ставится в
соответствие одно действительное число,
то множество вещественных чисел
называетсячисловой
последовательностью.

Кратко
числовая последовательность обозначается
.
Чаще всего последовательность задается
формулой его общего члена.

Предлагаем ознакомиться:  Что такое БАД Как применять БАДы

Число
называется
пределом
числовой последовательности,
если для любого сколь угодно малого
наперед заданного числаможно найти такой номер последовательности,
что для всех членов последовательности
с номеромвыполняется неравенство.
Графически это означает, что все члены
последовательности с номеромнаходятся в промежутке отдо( рис 1).

Если
такой предел существует, то последовательность
называется сходящейся,
в противоположном случае – расходящейся.

Пусть
функция
определена в некоторой окрестности
точки.
В самой точке
функция
может быть и не определена.

Число

называется пределом
функциив точке(при),
если для любой числовой последовательностизначений аргумента(),
соответствующая последовательность
значений функциистремится к числуа.

Данное
определение предела функции графически
показано на рис.2. При этом предполагается,
что последовательность
принадлежит области определения функции.

Таким
образом, число

называется пределом
функциив
точке(при),
если для любого сколь угодного малого
числанайдётся такое число,
что для всех значений аргументаудовлетворяющих неравенству,
будет выполняться неравенство.

Иногда
бывает так, что предел функции
в точке
имеет
разную величину, когдаслева, т.е.меньше,
и когдасправа, т.е.больше.
В таком случае говорят ободносторонних
пределах функции
в точке: левостороннем
и правостороннем
соответственно.

Число
называетсяпределом
функциина бесконечности
(при
),
если для любого сколь угодно малого
числа
можно
указать такое число
,
что для всех значений аргумента
удовлетворяющих неравенству,
будет выполняться неравенство.

Значений функции на отрезке:

  1. Найти
    критические точки І рода функции на
    отрезке
    .

  2. Вычислить
    значения функции

    в критических точках.

  3. Вычислить
    значения функции

    на концах отрезка.

  4. Среди
    всех вычисленных значений функции
    выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 19.

Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке.

Решение.

Вычислим производную
и найдем критические точки первого
рода.

,
если
;;.

Из
найденных двух критических точек только
точка

принадлежит заданному интервалу
.

наибольшее
значение функции

наименьшее
значение функции .

График
функции

называется выпуклым
на интервале
,
если он расположен выше любой своей
касательной на этом интервале (рис. 7а).

График
функции

называется вогнутым
на интервале
,
если он расположен выше любой своей
касательной на этом интервале (рис. 7б).

Выпуклость
и вогнутость графика функции связана
со знаком второй производной функции.
Нахождение интервалов
выпуклости и вогнутости опирается на
следующую теорему.

Теорема:
Если во всех точках интервала
вторая производная функции

отрицательна, т.е.
,
то график функции на этом интервале
выпуклый, если же,
то график функции вогнутый.

Точка
графика функции, отделяющая выпуклую
часть графика от вогнутой, называется
точкой
перегиба.

Для
нахождения точек перегиба графика
функции используют необходимое и
достаточное условия существования
точек перегиба.

Необходимое
условие существования точки перегиба.

Если
– абсцисса точки перегиба графика
функции
,
то вторая производная в этой точке
либо равна нулю, либо не существует,
т.е.

или

не существует.

Точки,
в которых вторая производная

равна нулю или не существует (в частности,
точки разрыва функции), называются
критическими
точками второго рода.

Замечание:
Обратное
утверждение не всегда верно, то есть
если
или не существует, то точка с абсциссой

может не являться точкой перегиба.

Достаточное
условие существования точки перегиба.

Если
вторая производная
при переходе через критическую точку
второго рода

меняет знак, то точка с абсциссой

является точкой перегиба графика
функции.

Схема исследования
функции на

  1. Найти
    область определения функции
    .

  2. Найти
    первую производную
    .

  3. Найти
    вторую производную
    .

  4. Найти
    критические точки ІІ рода.

  5. Разбить
    критическими точками ІІ рода область
    определения функции на интервалы.

  6. Определить
    знак второй производной
    на каждом из интервалов (методом
    подстановки значений аргумента или
    методом интервалов).

  7. Определить
    интервалы выпуклости (вогнутости)
    графика функции.

  8. Определить,
    используя достаточный признак, какие
    из критических точек второго рода
    являются точками перегиба.

  9. Вычислить
    значение функции в полученных точках
    перегиба.

  10. Результаты
    оформить в виде таблицы.

Пример 20.

Найти
интервалы выпуклости (вогнутости) и
точки перегиба графика функции
.

Решение.

Функция
определена на всей числовой оси. Область
определения функции имеет вид:
.

Следовательно,
точка

– критическая точка ІІ рода.

Разбиваем
всю числовую ось на интервалы и определяем
знак второй производной на каждом
интервале.

Так
как на интервалах
вторая производная отрицательная
значит, на этих интервалах график функции
выпуклый.

Интервалов
вогнутости график функции не имеет.

Так
как при переходе через критическую
точку

вторая производная не меняет свой знак,
то в этой точке перегиба нет.

Приближенный
вид графика функции
приведен
на рис 6.

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

,
,,,,и др.

Указанные
интегралы не могут быть найдены с помощью
рассмотренных выше методов интегрирования.
Для их решения используют методы,
изучаемые в других разделах высшей
математики.

Составим сумму

Пример 38.

Решение.

а)
;

б)
.

Пример 39.

Решение.

Пример 40.

а)
;
б).

Решение.

Определенный
интеграл
,
в котором промежуток интегрирования– конечный, а подынтегральная функция– непрерывна
на отрезке
,
называетсясобственным
интегралом.

Несобственным
интегралом
называется определенный интеграл от
непрерывной функции, но с бесконечным
промежутком интегрирования или
определенный интеграл с конечным
промежутком интегрирования, но от
функции, имеющей на нем бесконечный
разрыв. Соответственно, различают
несобственные интегралы I рода (с
бесконечными пределами) и II рода (интеграл
от разрывной функции).

Несобственным
интегралом первого роданепрерывной на интервалефункцииназывается конечный предел.

Если предел, стоящий
в правой части равенства существует и
конечен, то несобственный интеграл
сходится, в противном случае – расходится.

,
где
– произвольное число.

Такой интеграл
сходится лишь тогда, когда сходятся оба
интеграла на которые он разбивается.

Пример 41.

Вычислить
несобственные интегралы І рода: а)
;
б).

Решение.

а)
.

Так как предел –
конечный, то несобственный интеграл
сходится.

б)
.

Так как предел –
бесконечный, то несобственный интеграл
расходится.

Пример 42.

Вычислить
несобственный интеграл ІІ рода
.

Решение.

Загрузка ...
Adblock detector