Ненатуральные числа Как отличить натуральные от ненатуральных

Величина множества натуральных чисел

Множество N{displaystyle mathbb {N} } будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1 (единица), функция S{displaystyle S} c областью определенияN{displaystyle mathbb {N} }, называемая функцией следования (S:N{displaystyle Scolon mathbb {N} }), и выполнены следующие условия:

  1. элемент единица принадлежит этому множеству (1∈N{displaystyle 1in mathbb {N} }1inmathbb{N}), то есть является натуральным числом;
  2. число, следующее за натуральным, также является натуральным (если x∈N{displaystyle xin mathbb {N} }{displaystyle xin mathbb {N} }, то S(x)∈N{displaystyle S(x)in mathbb {N} }{displaystyle S(x)in mathbb {N} } или, в более короткой записи, S:N→N{displaystyle Scolon mathbb {N} to mathbb {N} }{displaystyle Scolon mathbb {N} to mathbb {N} });
  3. единица не следует ни за каким натуральным числом (∄x∈N (S(x)=1){displaystyle nexists xin mathbb {N} (S(x)=1)}{displaystyle nexists xin mathbb {N}  (S(x)=1)});
  4. если натуральное число a{displaystyle a}a непосредственно следует как за натуральным числом b{displaystyle b}b, так и за натуральным числом c{displaystyle c}c, то b{displaystyle b}b и c{displaystyle c}c — это одно и то же число (если S(b)=a{displaystyle S(b)=a}S(b)=a и S(c)=a{displaystyle S(c)=a}S(c)=a, то b=c{displaystyle b=c}b=c);
  5. (аксиома индукции) если какое-либо предложение (высказывание) P{displaystyle P}P доказано для натурального числа n=1{displaystyle n=1}n=1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа n{displaystyle n}n, вытекает, что оно верно для следующего за n{displaystyle n}n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть P(n){displaystyle P(n)}P(n) — некоторый одноместный (унарный) предикат, параметром которого является натуральное число n{displaystyle n}n. Тогда, если P(1){displaystyle P(1)}P(1) и ∀n(P(n)⇒P(S(n))){displaystyle forall n;(P(n)Rightarrow P(S(n)))}forall n;(P(n)Rightarrow P(S(n))), то ∀nP(n){displaystyle forall n;P(n)}forall n;P(n)).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве N{displaystyle mathbb {N} } какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Величина бесконечного множества характеризуется понятием «мощность множества», которое является обобщением числа элементов конечного множества на бесконечные множества. По величине (то есть мощности) множество натуральных чисел больше любого конечного множества, но меньше любого интервала, например, интервала (0,1){displaystyle (0,1)}.

Предлагаем ознакомиться:  Как отличить самку от самца данио

Множество натуральных чисел по мощности такое же, как множество рациональных чисел. Множество такой же мощности, как множество натуральных чисел, называется счётным множеством. Так, множество членов любой последовательности счётно. В то же время, существует последовательность, в которую каждое натуральное число входит бесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можно представить как счётное объединение непересекающихся счётных множеств (например[5], N=⋃k=0∞(⋃n=0∞(2n 1)2k){displaystyle mathbb {N} =bigcup limits _{k=0}^{infty }left(bigcup limits _{n=0}^{infty }(2n 1)2^{k}right)}).

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

  • сложение: слагаемое слагаемое = сумма;
  • умножение: множитель × множитель = произведение;
  • возведение в степень: ab{displaystyle a^{b}}a^{b}, где a{displaystyle a}a — основание степени, b{displaystyle b}b — показатель степени. Если a{displaystyle a}a и b{displaystyle b}b — натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

  • вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом);
  • деление с остатком: делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p{displaystyle p}p и остаток r{displaystyle r}r от деления a{displaystyle a}a на b{displaystyle b}b определяются так: a=p⋅b r{displaystyle a=pcdot b r}{displaystyle a=pcdot b r}, причём 0⩽r<b{displaystyle 0leqslant r<b}{displaystyle 0leqslant r<b}. Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на нуль, так как иначе a{displaystyle a}a можно представить в виде a=p⋅0 a{displaystyle a=pcdot 0 a}{displaystyle a=pcdot 0 a}, то есть можно было бы считать частным любое число, а остатком a{displaystyle a}a.

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцоцелых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Предлагаем ознакомиться:  Как выбрать подарок дочери советы любящим отцам

Основные свойства

a b=b a{displaystyle a b=b a}{displaystyle a b=b a}.
  • Коммутативность умножения:
a⋅b=b⋅a{displaystyle acdot b=bcdot a}acdot b=bcdot a.
(a b) c=a (b c){displaystyle (a b) c=a (b c)}(a b) c=a (b c).
  • Ассоциативность умножения:
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c){displaystyle (acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)}(acdot b)cdot c=acdot (bcdot c).
{a⋅(b c)=a⋅b a⋅c(b c)⋅a=b⋅a c⋅a{displaystyle {begin{cases}acdot (b c)=acdot b acdot c\(b c)cdot a=bcdot a ccdot aend{cases}}}{displaystyle {begin{cases}acdot (b c)=acdot b acdot c\(b c)cdot a=bcdot a ccdot aend{cases}}}.

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел Z{displaystyle mathbb {Z} } и рациональных положительных чисел Q ∗{displaystyle mathbb {Q} _{ }^{*}} соответственно.

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множества A, порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок: [A], основные арифметические операции определятся следующим образом:

  • [A] [B]=[A⊔B]{displaystyle [A] [B]=[Asqcup B]}[A]   [B] = [A sqcup B];
  • [A]⋅[B]=[A×B]{displaystyle [A]cdot [B]=[Atimes B]}[A] cdot [B] = [A times B];
  • [A][B]=[AB]{displaystyle {[A]}^{[B]}=[A^{B}]}{[A]}^{[B]} = [ A^B ],

где:

  • A⊔B{displaystyle Asqcup B}A sqcup B — дизъюнктное объединение множеств;
  • A×B{displaystyle Atimes B}A times B — прямое произведение;
  • AB{displaystyle A^{B}}A ^ B — множество отображений из B в A.

Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Примечания

  1. Элементарная математика, 1976, с. 18.
  2. 12Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. — М.: Наука, 1981. — С. 9. — 560 с.
  3. Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. — 1971. — 445 с.
  4. Доказательство единственности натуральных чисел (неопр.). Дата обращения 4 февраля 2011.Архивировано 22 августа 2011 года.
  5. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А.Задача №48 // Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 1. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 146 (формулировка), 163 (ответ).

Литература

Эта страница в последний раз была отредактирована 31 мая 2019 в 15:27.

Загрузка ...
Adblock detector