Арифметический квадратный корень (8 класс)

Свойства квадратных корней.

  • Квадратный корень если а ≥ 0 и b > 0;
  • Квадратный корень если а ≥ 0 и n — натуральное число;
  • Квадратный корень если а ≥ 0 и n — натуральное число.
  • Обратите внимание, (−5)2 = 25, но Квадратный корень.
  • Корень не может равняться неположительному числу.
  • Квадратный корень — невозможно вычислить, корень из отрицательного числа не существует.
  • Если Квадратный корень, то b2 = a, при а ≥ 0 и b ≥ 0, это одно из важнейших свойств корней.
  • Важно понимать, что квадратный корень — это другая запись степени ½:

Например:

  • Величина корня не изменится, если его показатель увеличить в n раз и одновременно возвести подкоренное значение в степень n:
  •   Величина корня не изменится, если показатель степени уменьшить в n раз и одновременно извлечь корень n-й степени из подкоренного значения:
  •  Корень от частного равен частному от деления корня из делимого на корень из делителя (показатели корней должны быть одинаковыми):

  Обратно:

  •   Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:

  Обратно, чтобы извлечь корень из степени, достаточно возвести в эту степень корень из основания степени:

  •   Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней той же степени из этих сомножителей (тоже важное свойство корней):

На [0; ∞) можно поставить каждому числу х в соответствие единственное число корень n-степени из x при любом значении n.

Теперь определим свойства функции корня и построим ее график.

Промежуток [0; ∞) – является областью определения.

Так как неотрицательное число является корнем n-степени из неотрицательного числа, значит промежуток [0; ∞) будет областью значения функции.

Поскольку симметричным множеством не является область определения функции, поэтому данная функция не является ни нечетной, ни четной.

Операция по извлечению корня вводилась как обратная операция возведения в соответствующую степень.

Теперь можно построить график функции корня.

Пользуясь графиком, можно записать оставшиеся свойства функции.

На промежутке [0; ∞) функция возрастает.

Сверху функция не ограничена, но она ограничена снизу, например, прямой у, которая = -0,5.

На всей области определения функция выпукла вверх.

У функции наименьшим значением будет являться 0, а наибольшего значения она не имеет.

Если в каждой из точек некоторого промежутка функция дифференцируема, то это значит, что на данном промежутке она непрерывна.

В любой точке промежутка [0; ∞) существует эта производная, исключением является только точка 0.

Поскольку в любой точке промежутка (0; ∞) функция имеет производную, значит на промежутке (0; ∞) функция дифференцируема.

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен .
 .

А почему же число   должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен  ?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим:  , а не  .

Может,  ? Опять же, проверяем:  .

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Это надо запомнить: число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что в определении сказано, что решение квадратного корня из «числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  ».

А в самом начале мы разбирали пример  , подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом  , ответом были   и  , а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»!

Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа.

К примеру,   не равносильно выражению  .

Из   следует, что

 , то есть   или  ;   (не помнишь почему так? Почитай тему «Модуль числа»!)

А из   следует, что  .

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как  , так и  .

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

А теперь попробуй решить такое уравнение  .

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля:   – не подходит.

Двигаемся дальше  ;   – меньше трех, тоже отметаем.

А что если  ? Проверим:   – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между   и  , а также между   и  .

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

И что дальше?

Давай построим график функции   и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из  , делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что   Такое число никогда не кончается.

Предлагаем ознакомиться:  Как решить под корнем число вычитаемое корень?

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение.   и   уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной   км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора:  .

Таким образом,  .

Так чему же здесь равно искомое расстояние?

Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что  . Корень из двух приблизительно равен  , но, как мы заметили раньше,   -уже является полноценным ответом.

Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

  • умножение;
  • деление;
  • возведение в степень.
Свойство Пример

Корень произведения равен произведению корней:

 

Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя:

 , если  

 

Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение:

 , при  

 

Попробуем решить по несколько примеров на каждое свойство!

Умножение корней

Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!

Ответы: Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!

Деление корней

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

 , если  .

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа   – это число, квадратный корень которого равен  .

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен  , в квадрат, то что получаем?

Ну, конечно,  !

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Забыл?

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

((sqrt{a})^2=a)

Это и есть главное свойства корня, которое чаще всего используется (в том числе и в ОГЭ)

Пример. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения (frac{(2sqrt{6})^2}{36})

Решение: (frac{(2sqrt{6})^2}{36}=frac{4 cdot (sqrt{6})^2}{36}=frac{4 cdot 6}{36}=frac{4}{6}=frac{2}{3})

Пример. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения ((sqrt{85}-1)^2)

 (86-2sqrt{85})

Конечно, при работе с квадратным корнем нужно использовать и другие свойства. 

(5sqrt{11} cdot 2sqrt{2}cdot sqrt{22}=) 

Перемножим числа без корня, а числа с корнем запишем под одним знаком, по свойству: (sqrt{a}cdot sqrt{b}=sqrt{a cdot b})

(=10 sqrt {11 cdot 2 cdot 22}=10sqrt{(22)^2} )

Ответ: (220)

Внимание!К этой теме имеются дополнительныематериалы в Особом разделе 555.Для тех, кто сильно «не очень…»И для тех, кто «очень даже…» )

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать.

Квадратный корень как элементарная функция.

График функции  y = x {displaystyle y={sqrt {x}}}
График функцииy=x{displaystyle y={sqrt {x}}}y={sqrt  x}

Квадратный корень является элементарной функцией и частным случаем степенной функцииxα{displaystyle x^{alpha }} с α=1/2{displaystyle alpha =1/2}. Арифметический квадратный корень является гладким при x>0{displaystyle x>0}, в нуле же он непрерывен справа, но не дифференцируем.[7]

Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, листы которой соединяются в нуле.

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того.
[8]

Квадратный корень – это элементарная функция и частный случай степенной функции  при . Арифметический квадратный корень является гладким при , а в нуле он непрерывен справа, но не дифференцируется (отличительное свойтво корней).

Как функция комплексный переменный корень — двузначная функция, у которой листы сходятся в нуле.

Отсев заведомо лишних чисел

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать.

Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от   до  , а также уметь их распознавать.

То есть, тебе необходимо знать, что   в квадрате равно  , а также, наоборот, что   – это   в квадрате.

Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.

Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.

Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  ;

Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  .

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Получилось  ? Молодец, все верно!

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

Предлагаем ознакомиться:  Как научиться четко разговаривать

Итак, у нас есть 10 чисел — кандидатов на корень. Мы получили их очень быстро, без сложных размышлений и умножений в столбик. Пора двигаться дальше.

Другими словами, достаточно взглянуть на последнюю цифру квадрата — и мы сразу поймем, на что заканчивается исходное число.

22 = 4;82 = 64 → 4.

корень из 3364 заканчивается на 2 или на 8
[Подпись к рисунку]

Вот и все! Из всех возможных корней мы оставили всего два варианта! И это в самом тяжелом случае, ведь последняя цифра может быть 5 или 0. И тогда останется единственный кандидат в корни!

Чтобы извлечь квадратный корень из числа, надо задать себе вопрос: какое число в квадрате даст выражение под корнем?

Например. Извлеките корень: а)(sqrt{2500}); б) (sqrt{frac{4}{9}}); в) (sqrt{0,001}); г) (sqrt{1frac{13}{36}})

а) Какое число в квадрате даст (2500)?

(sqrt{2500}=50)

б) Какое число в квадрате даст (frac{4}{9})?

(sqrt{frac{4}{9}})(=)(frac{2}{3})

в) Какое число в квадрате, даст (0,0001)?

(sqrt{0,0001}=0,01)

г) Какое число в квадрате даст (sqrt{1frac{13}{36}})? Чтобы дать ответ на вопрос, нужно перевести смешанную дробь в неправильную.

(sqrt{1frac{13}{36}}=sqrt{frac{49}{16}}=frac{7}{6})

Замечание: Хотя (-50), (-frac{2}{3}), (-0,01),(- frac{7}{6}), тоже отвечают на поставленные вопросы, но их не учитывают, так как квадратный корень – всегда положителен.

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

1 x=∑n=0∞(−1)n(2n)!(1−2n)(n!)2(4n)xn=1 12x−18×2 116×3−5128×4 …,{displaystyle {sqrt {1 x}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1 textstyle {frac {1}{2}}x-{frac {1}{8}}x^{2} {frac {1}{16}}x^{3}-{frac {5}{128}}x^{4} dots ,}{displaystyle {sqrt {1 x}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1 textstyle {frac {1}{2}}x-{frac {1}{8}}x^{2} {frac {1}{16}}x^{3}-{frac {5}{128}}x^{4} dots ,} при |x|⩽1{displaystyle |x|leqslant 1}{displaystyle |x|leqslant 1}.

Грубая оценка

Если D нечётно, D = 2n 1, тогда используем S≈2⋅10n.{displaystyle {sqrt {S}}approx 2cdot 10^{n}.}{sqrt  {S}}approx 2cdot 10^{n}.
Если D чётно, D = 2n 2, тогда используем S≈6⋅10n.{displaystyle {sqrt {S}}approx 6cdot 10^{n}.}{sqrt  {S}}approx 6cdot 10^{n}.

Два и шесть используются потому, что 1⋅10=104≈2{displaystyle {sqrt {sqrt {1cdot 10}}}={sqrt[{4}]{10}}approx 2} и 10⋅100=10004≈6.{displaystyle {sqrt {sqrt {10cdot 100}}}={sqrt[{4}]{1000}}approx 6,.}

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку 2⌊D/2⌋{displaystyle 2^{leftlfloor D/2rightrfloor }} (здесь D это число двоичных цифр).

|BH|=|AH|⋅|HC|{displaystyle |BH|={sqrt {|AH|cdot |HC|}}}

В частности, если |AH|=1{displaystyle |AH|=1}, а |HC|=x{displaystyle |HC|=x}, то |BH|=x{displaystyle |BH|={sqrt {x}}}[9]

Последовательные приближения рассчитываются по формуле:
{x0=axn 1=12(xn axn){displaystyle {begin{cases}x_{0}=a\x_{n 1}={frac {1}{2}}left(x_{n} {frac {a}{x_{n}}}right)end{cases}}}
тогда limn→∞xn=a{displaystyle lim _{nto infty }x_{n}={sqrt {a}}}

x1=94=2,25; x2=16172=2,23611;x3=5184123184=2,2360679779.{displaystyle x_{1}={frac {9}{4}}=2{,}25; x_{2}={frac {161}{72}}=2{,}23611;;x_{3}={frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779.}{displaystyle x_{1}={frac {9}{4}}=2{,}25; x_{2}={frac {161}{72}}=2{,}23611;;x_{3}={frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779.}

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Столбиком

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа N с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки.

  1. Записать число N (в примере — 69696) на листке.
  2. Найти a{displaystyle a}a, квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа N (старшая группа — самая левая не равная нулю), а квадрат a 1{displaystyle a 1}a 1 больше группы старших разрядов числа. Записать найденное a{displaystyle a}a справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера a2=22=2⋅2=4<6{displaystyle a^{2}=2^{2}=2cdot 2=4<6}a^{2}=2^{2}=2cdot 2=4<6, а (a 1)2=32=3⋅3=9>6{displaystyle (a 1)^{2}=3^{2}=3cdot 3=9>6}(a 1)^{2}=3^{2}=3cdot 3=9>6).
  3. Записать квадрат a{displaystyle a}a под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов N выписанного квадрата числа a{displaystyle a}a и записать результат вычитания под ними.
  4. Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число b{displaystyle b}b. (На первом шаге примера это число просто есть b=2⋅20=40{displaystyle b=2cdot 20=40}b=2cdot 20=40, на втором b=26⋅20=520{displaystyle b=26cdot 20=520}b=26cdot 20=520).
  5. Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа N справа от результата вычитания. Назовем c{displaystyle c}c число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число c=296{displaystyle c=296}c=296, на втором c=2096{displaystyle c=2096}c=2096). Если сносится первая группа после десятичной точки числа N, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
  6. Теперь нужно найти такое a{displaystyle a}a, что (b a)⋅a{displaystyle (b a)cdot a}(b a)cdot a меньше или равно c{displaystyle c}c, но (b (a 1))⋅(a 1){displaystyle (b (a 1))cdot (a 1)}(b (a 1))cdot (a 1) больше, чем c{displaystyle c}c. Записать найденное a{displaystyle a}a справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что a{displaystyle a}a окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как (40 6)⋅6=46⋅6=276<296{displaystyle (40 6)cdot 6=46cdot 6=276<296}(40 6)cdot 6=46cdot 6=276<296, но (40 7)⋅7=47⋅7=329>296{displaystyle (40 7)cdot 7=47cdot 7=329>296}(40 7)cdot 7=47cdot 7=329>296) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
  7. Записать число (b a)⋅a{displaystyle (b a)cdot a}(b a)cdot a под c{displaystyle c}c. Провести вычитание столбиком числа (b a)⋅a{displaystyle (b a)cdot a}(b a)cdot a из c{displaystyle c}c и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Сравнение корней

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Предлагаем ознакомиться:  Как правильно заваривать египетский желтый чай хельба

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше:   или  ?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

Обобщения

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида x∘x=a{displaystyle xcirc x=a} и для других объектов: матриц[10], функций[11], операторов[12] и т. п. В качестве операции ∘{displaystyle circ } при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.

В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть (G,⋅){displaystyle (G,cdot )} — группоид и a∈G{displaystyle ain G}. Элемент x∈G{displaystyle xin G} называется квадратным корнем из  a{displaystyle a} если  x⋅x=a{displaystyle xcdot x=a}.

Примечания

  1. Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  2. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
  3. См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
  4. Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, § 4 // Мат. анализ на EqWorld
  5. Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1975 г., п. 1.2.1
  6. Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses. — John Wiley and Sons, 2008. — P. 59. — ISBN 0-470-25952-3.
  7. Фихтенгольц, гл. 2, § 1
  8. Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)
  9. Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148
  10. См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
  11. См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
  12. См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.

Подведем итоги

  1. Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа   называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен  .
     .
  2. Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.
  3. Свойства арифметического корня:
    Свойство Пример
    Корень произведения равен произведению корней , если    
    Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя. , если    
    Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение , при    
  4. При сравнении квадратных корней необходимо помнить, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень.

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это — не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но, думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте — нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье — Купить статью — 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника — Купить учебник — 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” — это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Загрузка ...
Adblock detector