Как решить под корнем число вычитаемое корень?

Определение десятичной дроби

Десятичная дробь — это особое представление нецелого числа со знаменателем, который делится на 10, а ответ получается в виде единицы и, возможно, нулей. Другими словами, если в знаменателе 10, 100, 1000 и так далее, то удобнее переписать число с использованием запятой. Тогда до нее будет расположена целая часть, а потом — дробная.

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Как складывать квадратные корни

Эта статья продолжает тему корень из числа. Здесь мы разберемся с извлечением корня. Сначала определим, что называют извлечением корня, и установим, когда корень извлекается. Дальше изучим принципы, на которых основано нахождение значения корня, после чего на примерах рассмотрим основные способы извлечения корней из натуральных чисел, а затем и из дробных чисел.

Сейчас в школьной программе происходит, что-то не совсем понятно. Одно радует, что в математике все остается неизменной. Работа с корнями, а именно складывание и вычитание не очень сложное действие. Но у некоторых учеников вызывают определенные трудности. И в этой статье мы разберем правила, как складывать и вычитать квадратные корни.

Квадратным корнем из числа X называется число A, которое в процессе умножения самого на себя (A * A) может дать число X. Т.е. A * A = A2 = X, и vX = A. Над квадратными корнями (vx), как и над другими числами, можно выполнять такие арифметические операции, как вычитание и сложение. Для вычитания и сложения корней их нужно соединить посредством знаков, соответствующих этим действиям (например vx — vy).

Причины, по которым понадобилось применение десятичных дробей

Математикам потребовались десятичные дроби по нескольким основаниям:

  1. Упрощение записи. Такая дробь расположена вдоль одной линии без черточки между знаменателем и числителем, при этом наглядность не страдает.

  2. Простота в сравнении. Достаточно просто соотнести цифры, находящиеся в одинаковых позициях, в то время как с обыкновенными дробями пришлось бы приводить их к общему знаменателю.

  3. Упрощение вычислений.

  4. Калькуляторы не рассчитаны на введение обыкновенных дробей, они для всех операций используют десятичную запись чисел.

Формулы, которые используют для нахождения корней квадратного уравнения, и содержащие дискриминант

Разложение квадратных трехчленов на множители осуществляется решением квадратного уравнения. Это несложная задача, которую можно решить несколькими методами — нахождением дискриминанта, при помощи теоремы Виета, существует и графический способ решения. Первые два способа изучаются в средней школе.

Общая формула выглядит так: lx2 kx n=l(x-x1)(x-x2) (1)

х1,2 = (-в ± √Д) / (2 * а).

Здесь всегда получится два ответа. Это связано с тем, что в исходной формуле стоит знак «плюс/минус». Он существенно изменяет значение неизвестной.

х = (-в) / (2 * а).

При отрицательном значении дискриминанта извлечь из него квадратный корень не представляется возможным. Поэтому корней у такого уравнения не будет.

Замечание. Это верно для курса школьной программы, в которой не изучаются комплексные числа. Когда они вводятся, то получается, что и в этой ситуации ответов будет два.

х2 в * х с = 0.

х1 х2 = -вих1 * х2 = с.

Оно решается за счет того, что из первого выводится выражение для одного из корней. И это значение нужно подставить во второе. Так будет найден второй корень, а потом первый.

К этому варианту всегда можно прийти от общего вида квадратного уравнения.

Достаточно только разделить все коэффициенты на «а».

Ответ прост: так же, как обыкновенное смешанное число со знаменателем, кратным 10. Исключение составляют только дроби без целого значения, тогда при чтении нужно произносить «ноль целых».

Например, 45/1000 нужно произнести как сорок пять тысячных, в то же время 0,045 будет звучать как ноль целых сорок пять тысячных.

Смешанное число с целой частью равной 7 и дробью 17/100, что запишется как 7,17, в обоих случаях будет прочитано как семь целых семнадцать сотых.

Если в знаменателе стоит число, равное 10 или 100, и прочие, то вопрос о том, как дробь перевести в десятичную, несложен. Для этого достаточно по-другому переписать все ее составные части. В этом помогут такие пункты:

  • немного в стороне написать числитель дроби, в этот момент десятичная запятая располагается справа, после последней цифры;

  • переместить запятую влево, здесь самое главное — правильно сосчитать цифры — передвинуть ее нужно на столько позиций, сколько нолей в знаменателе;

  • если их не хватает, то на пустых позициях должны оказаться нули;

  • нули, которые были в конце числителя, теперь не нужны, и их можно зачеркнуть;

  • перед запятой приписать целую часть, если ее не было, то здесь тоже окажется нуль.

Предлагаем ознакомиться:  Какое боевое искусство лучше всего

Внимание. Нельзя зачеркивать нули, которые оказались окружены другими цифрами.

О том, как быть в ситуации, когда в знаменателе число не только из единицы и нулей, как дробь переводить в десятичную, можно прочитать чуть ниже. Это важная информация, с которой обязательно стоит ознакомиться.

Здесь возможны два варианта:

  1. Когда знаменатель можно представить в виде числа, которое равно десяти в любой степени.

  2. Если такую операцию проделать нельзя.

Как это проверить? Нужно разложить знаменатель на множители. Если в произведении присутствуют только 2 и 5, то все хорошо, и дробь легко преобразуется в конечную десятичную. В противном случае, если появляются 3, 7 и другие простые числа, то результат будет бесконечным. Такую десятичную дробь для удобства использования в математических операциях принято округлять. Об этом будет речь немного ниже.

Изучает, как получаются такие десятичные дроби, 5 класс. Примеры здесь будут очень кстати.

Пусть в знаменателях находятся числа: 40, 24 и 75. Разложение на простые множители для них будет такое:

  • 40=2·2·2·5;
  • 24=2·2·2·3;
  • 75=5·5·3.

В этих примерах только первая дробь может быть представлена в виде конечной.

Складывать и вычитать квадратные корни можно только при условии, что у них одинаковое подкоренное выражение, то есть вы можете сложить или вычесть 2v3 и 4v3, но не 2v3 и 2v5. Вы можете упростить подкоренное выражение, чтобы привести их к корням с одинаковыми подкоренными выражениями (а затем сложить или вычесть их).

Роль разрядов в записи дробей

Верно отметить разряд — это то, что требует математика. Десятичные дроби и их значение могут существенно измениться, если записать цифру не в том месте. Впрочем, это было справедливо и раньше.

Для прочтения разрядов целой части десятичной дроби нужно просто воспользоваться правилами, известными для натуральных чисел. А в правой части они зеркально отражаются и по-другому читаются. Если в целой части звучало «десятки», то после запятой это будут уже «десятые».

Наглядно это можно увидеть в этой таблице.

Таблица разрядов десятичной дроби
класс тысячи единицы , дробная часть
разряд сот. дес. ед. сот. дес. ед. десятая сотая тысячная десятитысячная

Примеры

Правило, по которому производится умножение десятичных дробей на натуральное число, такое:

  • записать их в столбик, не обращая внимания на запятую;

  • перемножить, как если бы они были натуральными;

  • отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробной части исходного числа.

Частным случаем является пример, в котором натуральное число равно 10 в любой степени. Тогда для получения ответа нужно просто передвинуть запятую вправо на столько позиций, сколько нулей в другом множителе. Иными словами, при умножении на 10 запятая сдвигается на одну цифру, на 100 — их будет уже две, и так далее. Если цифр в дробной части не хватает, то нужно записать на пустых позициях нули.

Правило, которым пользуются, когда в задании нужно произвести умножение десятичных дробей на другое такое же число:

  • записать их друг под другом, не обращая внимания на запятые;

  • умножить, как если бы они были натуральными;

  • отделить запятой столько цифр, сколько их было в дробных частях обеих исходных дробях вместе.

Частным случаем выделяются примеры, в которых один из множителей равен 0,1 или 0,01 и далее. В них нужно выполнить перемещение запятой влево на количество цифр в представленных множителях. То есть если умножается на 0,1, то запятая сдвигается на одну позицию.

При преобразовании выражений с корнями используют определение и свойство арифметического корня -ой степени, свойства степени с рациональным показателем, а так же правила внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из под знака корня. При этом разделяют случаи четной и нечетной степени корня.

—> Сложение и вычитание корней — один из наиболее распространенных «камней преткновения» для тех, кто проходит курс математики (алгебры) в средней школе. Однако научиться правильно складывать и вычитать их очень важно, потому что примеры на сумму или разность корней входят в программу базового Единого Государственного Экзамена по дисциплине «математика».

х2-17х=-32

1) х2-17х 32=0

2) подобные слагаемые сведены

D=289-128=161=(12,69)2

x1=2,155

x2=14,845

(х-2,155)*(х-14,845)

х2-17х 32=(х-2,155)(х-14,845)

2,155 14,845=17

14,845.2,155=32

Для данных корней применяется теорема Виета, они были найдены правильно, а значит полученное нами разложение на множители тоже правильно.

Аналогично разложим 12х2 7х-6.

12х2 7х-6=0

x1=-7 (337)1/2

x2=-7-(337)1/2

В предыдущем случае решения были нецелыми, но действительными числами, найти которые легко, имея перед собой калькулятор. Теперь рассмотрим более сложный пример, в котором корни будут комплексными: разложить на множители х2 4х 9. По формуле Виета корни найти не получится, и дискриминант отрицательный. Корни будут на комплексной плоскости.

Предлагаем ознакомиться:  Какие бывают методы исследования в дипломной работе Цель и предмет исследования

Исходя из этого, получаем нтересующие нас корни -4 2i*51/2 и -4-2i*51/2 , поскольку (-20)1/2=2i*51/2.

Получаем искомое разложение, подставив корни в общую формулу.

Еще один пример: нужно разложить на множители выражение 23х2-14х 7.

Имеем уравнение 23х2-14х 7=0

D=-448

23х2-14х 7=23(х-14-21,166i )*(х-14 21,166i ).

Приведем пример, решить который можно без помощи дискриминанта.

Пусть нужно разложить квадратное уравнение х2-32х 255. Очевидно, его можно решить и дискриминантом, однако быстрее в данном случае подобрать корни.

Значит х2-32х 255=(х-15)(х-17).

Сложение квадратных корней: алгоритм, примеры, подобные корни

Его общий вид: а * х2 в * х с = 0. Здесь коэффициенты являются любыми числами, кроме первого, «а», которое не может быть равным нулю. Ведь тогда оно автоматически превратится в линейное. Ответ на вопрос, сколько корней имеет уравнение, уже не будет столь однозначным, как это было в предыдущем случае.

Все будет зависеть от значения дискриминанта. Он вычисляется по формуле Д = в2 — 4 а * с. После расчетов «Д» может получиться больше, меньше или равным нулю. В первом случае корней уравнения будет два, во втором ответом будет «корней нет», а третья ситуация даст только одно значение неизвестной.

х = (-в) / (2 * а).

х2 в * х с = 0.

Часто в процессе преобразований или решения уравнений встречаются выражения, содержащие корень под знаком квадратного корня. В большинстве случаев эти выражения можно упростить, выделив полный квадрат под корнем. Упростим первое слагаемое. Предположим, мы можем представить выражение в виде полного квадрата.

Как умножить десятичную дробь в разных примерах?

  • Проверить разложение знаменателя на простые множители и убедиться в том, что оно будет состоять из 2 и 5.

  • Добавить к этим числам столько 2 и 5, чтобы их стало равное количество. Они дадут значение дополнительного множителя.

  • Произвести умножение знаменателя и числителя на это число. В результате получится обыкновенная дробь, под чертой у которой стоит 10 в некоторой степени.

  • Дальше действовать так, как было описано в пункте, расположенном немного выше.

Если в задаче эти действия выполняются со смешанным числом, то его сначала нужно представить в виде неправильной дроби. А уже потом действовать по описанному сценарию.

Этот способ того, как дробь переводить в десятичную, кому-то покажется даже проще. Потому что в нем нет большого количества действий. Нужно только разделить значение числителя на знаменатель.

К любому числу с десятичной частью справа от запятой можно приписать бесконечное количество нулей. Этим свойством и нужно воспользоваться.

Сначала записать целую часть и поставить после нее запятую. Если дробь правильная, то написать ноль.

Потом полагается выполнить деление числителя на знаменатель. Так, чтобы количество цифр у них было одинаковым. То есть приписать справа у числителя нужное количество нолей.

Выполнять деление в столбик до тех пор, пока не будет набрано нужное количество цифр. Например, если округлить нужно будет до сотых, то в ответе их должно быть 3. В общем, цифр должно быть на одну больше, чем нужно получить в итоге.

Записать промежуточный ответ после запятой и округлить по правилам. Если последняя цифра — от 0 до 4, то ее нужно просто отбросить. А когда она равна 5-9, то стоящую перед ней нужно увеличить на единицу, отбросив последнюю.

В математике встречаются задачи, когда десятичные дроби удобнее представить в виде обыкновенных, в которых есть числитель со знаменателем. Можно вздохнуть с облегчением: эта операция возможна всегда.

Для этой процедуры нужно сделать следующее:

  • записать целую часть, если она равна нулю, то ничего писать не надо;

  • провести дробную черту;

  • над ней записать цифры из правой части, если первыми идут нули, то их нужно зачеркнуть;

  • под чертой написать единицу с таким количеством нолей, сколько цифр стоит после запятой в первоначальной дроби.

Это все, что нужно сделать, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную.

Это, пожалуй, самые простые действия. Потому что выполняются по правилам для натуральных чисел.

Так, чтобы выполнить сложение десятичных дробей, их нужно записать друг под другом, разместив запятые в столбик. При такой записи слева от запятых оказываются целые части, а справа — дробные. И теперь нужно сложить цифры поразрядно, как это делается с натуральными числами, снеся вниз запятую. Начинать сложение нужно с самого маленького разряда дробной части числа. Если в правой половине не хватает цифр, то дописывают нули.

При вычитании действуют так же. И здесь действует правило, которое описывает возможность занять единицу у старшего разряда. Если в уменьшаемой дроби после запятой меньше цифр, чем у вычитаемого, то в ней просто приписывают нули.

Предлагаем ознакомиться:  Как установить счетчик на отопление

Немного сложнее обстоит дело с заданиями, где нужно выполнить умножение и деление десятичных дробей.

Деление десятичных дробей на натуральное число выполняется по такому правилу:

  • записать их для деления в столбик, как если бы они были натуральными;

  • делить по привычному правилу до тех пор, пока не закончится целая часть;

  • поставить в ответ запятую;

  • продолжить деление дробной составляющей до получения в остатке нуля;

  • если нужно, то можно приписать нужное количество нулей.

Если целая часть равна нулю, то и в ответе ее тоже не будет.

Отдельно стоит деление на числа, равные десятке, сотне и так далее. В таких задачах нужно передвинуть запятую влево на количество нулей в делителе. Бывает, что цифр в целой части не хватает, тогда вместо них используют нули. Можно заметить, что эта операция подобна умножению на 0,1 и подобным ей числам.

Чтобы выполнить деление десятичных дробей, нужно воспользоваться этим правилом:

  • превратить делитель в натуральное число, а для этого перенести в нем запятую вправо до конца;

  • выполнить перемещение запятой и в делимом на такое же число цифр;

  • действовать по предыдущему сценарию.

Выделяется деление на 0,1; 0,01 и прочие подобные числа. В таких примерах запятая сдвигается вправо на число цифр в дробной части. Если они закончились, то нужно приписать недостающее количество нулей. Стоит отметить, что это действие повторяет деление на 10 и подобные ему числа.

1) Приравнять исходное выражение к нулю, чтобы получить уравнение.

2) Привести подобные слагаемые (если есть такая необходимость).

3) Найти корни любым известным способом. Графический метод лучше применять в случае, если заранее известно, что корни — целые и небольшие числа. Нужно помнить, что количество корней равно максимальной степени уравнения, то есть у квадратного уравнения корней два.

4) Подставить значение х в выражение (1).

5) Записать разложение квадратных трехчленов на множители.

х2-17х=-32

1) х2-17х 32=0

x1=2,155

x2=14,845

2,155 14,845=17

14,845.2,155=32

12х2 7х-6=0

x1=-7 (337)1/2

x2=-7-(337)1/2

D=-448

Чтобы извлечь корень введите два числа — основание (из чего извлекается корень) и степень. Калькулятор корней в режиме онлайн извлечет корень. Степень может быть как положительной, так и отрицательной. Число, из которого извлекается корень, должно быть больше нуля.

Калькулятор корней онлайн

Наверняка в повседневной жизни вы сталкивались с такой ситуацией, что вам требовалось извлечь корень числа или выполнить несколько иных математических действий, чтобы произвести финансовые расчеты, например, при расчете выгодности вклада в банк или насколько подходит ипотечный кредит по условиям, а под рукой на тот момент не оказалось обыкновенного электронного калькулятора или специальной программы? В таком случае для вас незаменимым станет этот удобный и простой в применении онлайн калькулятор корней.

Что можно делать с десятичными дробями?

В математике это будут определенные действия с десятичными дробями, которые ранее выполнялись для других чисел.

Ими являются:

  • сравнение;

  • сложение и вычитание;

  • умножение и деление.

Первое действие, сравнение, похоже на то, как это делалось для натуральных чисел. Чтобы определить, какое больше, нужно сравнивать разряды целой части. Если они окажутся равными, то переходят к дробной и так же по разрядам сравнивают их. То число, где окажется большая цифра в старшем разряде, и будет ответом.

Заключение: все дело в практике

Напоминание: все уравнения нужно проверять на то, подходит ли корень. Может быть, он посторонний? Стоит выполнить проверку предложенного примера.

Если подставить в изначально данное уравнение вместо «х» единицу, то получается, что 0 = 0. Этот корень верный.

Если х = -1, то получается такой же результат. Корень тоже подходящий.

Аналогично, при значениях «х» равных -√0,5 и √0,5 опять выходит верное равенство. Все корни подходят.

Этот пример не дал посторонних корней. Такое бывает не всегда. Вполне могло оказаться, что самое маленькое значение не подходило бы при проверке. Тогда пришлось бы выбирать из оставшихся.

Вывод: надо помнить о проверке и внимательно подходить к решению.

Ничто в учебе не дается легко и без усилий. Для надежного освоения нового материала требуются время и тренировка. Математика не исключение.

Чтобы тема про десятичные дроби не вызывала затруднений, нужно решать с ними примеров как можно больше. Ведь было время, когда и сложение натуральных чисел ставило в тупик. А теперь все нормально.

Поэтому, перефразируя известную фразу: решать, решать и еще раз решать. Тогда и задания с такими числами будут выполняться легко и непринужденно, как очередная головоломка.

Кстати, и головоломки поначалу решаются сложно, а потом нужно делать привычные движения. Так же и в математических примерах: пройдя по одному пути несколько раз, потом уже не будешь задумываться над тем, куда повернуть.

Загрузка ...
Adblock detector